习题2.1教案和学案内容

指数函数及其性质教案

教学目标

知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用. 能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法

，增强识图用图的能力. 情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质. 教学重点、难点

重点：指数函数的图象、性质及其简单运用. 难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系. 教学方法与手段

教学方法：探究式教学法. 教学手段：采用多媒体辅助教学. 教学过程

一、创设情景，引出课题

问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：

动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是：y2x.

问题2：某种机器设备每年按6%的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x年后，机器的价值为原来的y倍，则y与x的关系为y0.94x.

思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？

共同点：变量x与y构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；

不同点：底数的取值不同. 这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）

二、探索研究

(一)指数函数的概念： 形如yax(a0,且a1)叫做指数函数.其中x是自变量.函数的定义域为R. 函数解析式三大特征：1、指数是自变量x；2、底数是非1的正数；3、系数为1. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

若a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究价值；当x0时，ax无意义；

1若a0,例如当a2,x

时，2无意义，没有研究价值；

2若a1，则1x1,ax是一个常量，也没有研究的必要.

很好，所以有规定a0且a1（对指数函数有一初步的认识）.

（二）对数函数的图象与性质：

学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题.

思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 思考2：如何来画指数函数的图象呢? 画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图. 11思考4：函数y2x与y()x的图象有什么关系?能否由y2x的图象得到y()x的图象？

22思考5：选取底数a的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？

1

思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？

思考7：从特殊到一般，指数函数yax的性质．

师生共同归纳：

指数函数yax(a0且a1)的图象与性质：

a1

(a1)有哪些性质？并类比得出yax(0a1)

0a1

图

象

性

（1）定义域：(,)

（2）值域：

(0,)

质

（3）过定点(0,1)，即当x0时，y1

（4）在(,)上是增函数

三、应用举例：

数学源于生活，还要服务于生活．学习函数的一个重要目标是应用．指数函数是生产生活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具．这节课我们先来了解一下它的简单应用．

利用单调性比较大小．

例1.

比较下列各组数中各个值的大小：

（1）1.72.5

，1.73 ； （2） 0.80.1，0.80.2；

（3）1a3,1a2（4）在(,)上是减函数

(a0,且a1)

； （4） 1.70.3，0.93.1，1．

2

分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小．

说明：

1. 当底数相同且明确底数a与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．

2．当底数相同但不明确底数a与1的大小关系时：

要分情况讨论．

3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．

四、反馈练习：

比较下列各组数中两个值的大小：

1（）3.10.5，3.12.3；20.320.24（（）,（）；

2）33

（3）2.30.5，0.20.1.

五、归纳小结，强化思想: 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．

1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．

2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用.

3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想.

六、布置作业：

作业：教材P59习题2.1第5、6、7、8．

思考：1．函数yax21(a0,且a1)的图象必经过点___________．

12．解不等式：()x11．

2

3