小结设计意图

数形结合思想思想在教学过程中应用

华坪县第一中学 数学组 顾林华

教学目标：数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化

来解决数学问题的思想．

教学内容：利用数形结合思想解决方程的根或函数零点；利用数形结合思想解不等式或求参数范围；教学重点：数与形之间的对应关系以及数与形的相互转化

教学难点：数与形之间的对应关系

教学过程：

应用一

利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题

【技法点评】

用图象法讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解（或函数零点）的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出这两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解（或函数零点）的个数．

ｘ2 ＋２ａｘ＋ａ， ｘ≤０ 例1 (2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)= －ｘ2＋２ａｘ－２ａ ｘ＞０

若关于

ｘ

的方程

ｆ（ｘ）＝

ａｘ

恰有

２

个互异的实数解，则

ａ

的取值范围是

．答案

(4,8) ｘ2＋ａｘ＋ａ，ｘ≤０，

解析

设g(x)=f(x)-ax=  －ｘ2＋ａｘ－２ａ，ｘ＞０ 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种

情况:

情况一: ∴4

不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).

1.函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数是

. 解析

求函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数,即为求函数g(x)=x2-4与h(x) =- 的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,函数g(x),h(x)的 图象如图所示

,由图可知,h(x)与g(x)的图象有2个交点,故函数f(x)的零点个数为2 .

2.已知f(x)= m的取值范围为

. 若函数y=f(x)+m的图象与x轴恰有三个不同的则解析 f(x)= 的图象如图所示.令y=f(x)+m =0,则f(x)=-m.由图可知,当-1<-m≤2,即-2≤m<1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-m恰有三个不同的交点,故当-2≤m<1时,函数y=f(x)+m的图象与x轴恰有三个不同的交点.

应用二

利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题

【技法点评】

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,把两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. 例2 (2018课标全国Ⅰ,12,5分)设函数f(x)=取值范围是 (

)  

则满足f(x+ 1)< f(2x)的x的A.(-∞,-1]

B.(0,+∞) C.(-1,0)

D.(-∞,0) 解析：函数f(x)的图象如图所示.

由图可知,当x+1≤0且2x≤0时,函数f(x)为减函数,故f(x+1)

化为x+1>2x. 此时x≤-1.当2x<0且x+1>0时,f(2x)>1,f(x+1)=1,

满足f(x+1)< f(2x). 此时-1

3.若不等式|x-2a|≥ x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是

.

解析

作出y=|x-2a|和y= x+a-1的简图.依题意可知2a≤2-2a,故a

≤ .教学反思：

（１）“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够化抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质．

（２）“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．