习题2.1优秀公开课教案

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2.1 指数函数

课堂探究

探究一 比较两个幂的大小

对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：

(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．

【典型例题1】

比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5,1.7；

438－7(2)1.5，27；

(3)2.3－0.28,0.67－3.1. 思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值1比较大小．

解：(1)(单调性法)由于1.7与1.7的底数是1.7，

故构造函数y＝1.7，而函数y＝1.7在R上是增函数．

又2.5<3，∴1.7<1.7. 2.532.53xx3－7(2)(化同底)1.5＝22考察函数y＝3. x－731222283273＝，＝＝3，

74422∵0<<1，∴y＝3在R上是减函数．

322又7<12，∴3>3，

8－727即1.5>. (3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.3＜0.67－3.1－0.28x7124<2.3＝1，0.670－3.1>0.67＝1，则2.30－0.28. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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探究二 解指数不等式

解指数不等式问题，需注意三点：

(1)形如a>a的不等式，借助y＝a的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

(2)形如a>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a的单调性求解；

(3)形如a>b的形式利用图象求解．

【典型例题2】

解下列关于x的不等式：

xxxxxyx1(1) 2(2)a2x＋1x5≤16；

x－5≤a(a>0，且a≠1)．

41思路分析：(1)将16写为2，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解．

1解：(1)∵2∵0

(2)当0

∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. 当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，

∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，

当0

当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．

探究三指数型函数的单调性

对于形如y＝a(1)函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，有以下结论：

f(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)定义域相同；

f(x)(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定y＝a的值域；

(3)当a>1时，函数y＝a与函数f(x)的单调性相反．

f(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0

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x2－6x＋171【典型例题3】

已知函数y＝2(1)求函数的定义域及值域；

(2)确定函数的单调区间．

，

1思路分析：将函数y＝2x2－6x＋17122分解为y＝2与u＝x－6x＋17，再根据u＝x－u6x＋17的定义域、值域、单调性确定原函数的定义域、值域、单调性．

122解：(1)设u＝x－6x＋17，由于函数y＝2及u＝x－6x＋17的定义域为(－∞，＋u1∞)，故函数y＝22x2－6x＋17的定义域为R. 2∵u＝x－6x＋17＝(x－3)＋8≥8，

11∴2≤2. 11又2>0，∴函数的值域为0,. 256(2)函数u＝x－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1，即y1>y2，∴函数y＝2u1u2x2－6x＋17在[3，＋∞)上是减函数．

1同理可知y＝2ux2－6x＋17在(－∞，3]上是增函数．

f(x)规律总结函数y＝a可看作是函数y＝a与u＝f(x)复合而成的，其中函数u＝f(x)称f(x)u为内函数，函数y＝a为外函数．函数y＝a数单调性一致时，函数y＝a探究四 易错辨析

f(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函f(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数y＝a是减函数．

易错点

因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误

【典型例题4】

设a>0，且a≠1，如果函数y＝a＋2a－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

错解：∵y＝(a＋1)－2，

又∵y在[－1,1]上单调递增，∴x＝1时，y取得最大值．

∴a＋2a－1＝14，即a＋2a－15＝0，

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∴a＝3，或a＝－5(舍去)．

∴a＝3. 错因分析：当a>1时，在x∈[－1,1]内，a∈,a；

a当0

故当t取最大值时，y取最大值．

综上，应分两种情况求解才是正确的．

正解：设t＝a，若a>1，则t∈,a，

a若0

ax211∵y＝(t＋1)－1，它关于t在(－1，＋∞)上单调递增．

∴当a>1时，y在t＝a处取得最大值，

∴a＋2a－1＝14，∴a＝3. 当0

a121∴a＋－1＝14，∴a＝. a3∴a＝3或a＝1. 3x反思 指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝a，则t>0，一定要注意换元后新变量的范围．

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