阅读与思考 集合中元素的个数ppt课件教学实录

1.1.1

集合的含义与表示

教学目标

1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识. 2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识. 重点难点

教学重点:集合的基本概念与表示方法. 教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.

军训的时候我们常听到教官说：“集合！”。在这里，集合是我们常用的一个动词，而在我们数学中，集合则是一个名词，是一个特定的概念，我们今天就要学习一个新的概念——集合. 新知探究

阅读课本，回答以下问题。

提出问题

①我们班的所有女生能不能构成一个集合？

②班上身高在1.70米以上的男生能不能构成一个集合？

③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义. ④如果用A表示高一(10)班全体学生组成的集合,用a表示高一(10)班的一位同学,b是高一(9)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？

⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？

⑥世界上的高山能不能构成一个集合？

⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？

⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？

⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？

⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？

讨论结果：

①能. ②能. ③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.

④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. ⑤能,是珠穆朗玛峰. ⑥不能. ⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性. ⑧3个.

⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性. ⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的. 提出问题

阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号. 活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握. 讨论结果：

常见数集的专用符号. N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合); N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合); Z:整数集(全体整数的集合); Q:有理数集(全体有理数的集合); R:实数集(全体实数的集合). 提出问题

①前面所说的集合是如何表示的？

②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？

③集合共有几种表示法? 活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示. ②教师可以举例帮助引导: 例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次. 又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法. ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法. 讨论结果：

①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等; 方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等. ②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法; 描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}. ③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.

例题应用

1.(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示. (2)所有素质好的人能否表示为集合? (3)A={2,2,4}表示是否准确? (4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合? 活动：如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识: (1)元素与集合的关系及其符号表示; (2)集合元素的性质; (3)两个集合相同的定义. 解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5A. (2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合. (3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}. (4)因其元素相同,A与B表示同一集合. 变式训练

1.数集{3,x,x2-2x}中,实数x满足什么条件? 解：集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足

x3,x3,x3,22x3x,xx2x,即也就是x0,即满足x≠-1,0,3. x1,3x22x,x22x30,11,},则a=________,c=_______. 231111分析:方程ax2+5x+c=0的解集是{,},那么、是方程的两根, 23232.方程ax2+5x+c=0的解集是{511,a-6,23a即有得那么a=-6,c=-1. 11cc-1,,23a答案：6

-1 3.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元素,求k的值. 解：由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解, 若k=0,则x=2,知A中有一个元素,符合题设; 3若k≠0,则方程为一元二次方程, 9时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素. 89综上所述k=0或k=. 8当Δ=9-8k=0即k=4.2006山东高考,理1定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为…(

) A.0

B.6

C.12

D.18

分析:∵x∈A,∴x=0或x=1. 当x=0,y∈B时,总有z=0; 当x=1时, 若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12. 综上所得,集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12=18. 答案：D 注意：①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义. ②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合. ③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等. 2.用列举法表示下列集合: (1)小于5的正奇数组成的集合; (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; (3)方程x2-9=0的解组成的集合; (4){15以内的质数}; (5){x|6∈Z,x∈Z}. 3x活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可. 提示学生注意：

(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3; (4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数; (5)中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6. 解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3}; (2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12}; (3)方程x2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3}; (4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}; (5)满足6∈Z的x有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列3x举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}. 变式训练

用列举法表示下列集合: (1)x2-4的一次因式组成的集合; (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}; (3)方程x2+6x+9=0的解集; (4){20以内的质数}; (5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}; (6){大于0小于3的整数}; (7){x∈R|x2+5x-14=0}; (8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}; (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}. 思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地

用“,”隔开放在大括号内. 解：(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2}; (2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4, 故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4}; (3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3}; (4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}; (5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1, 那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)}; (6){大于0小于3的整数}={1,2}; (7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2}; (8)当x∈N且1≤x<4时,x=1、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6, 那么{(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)}; (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}. 点评：本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个. 3.用描述法分别表示下列集合: (1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合; (2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合; (3)不等式x-7<3的解集. 活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生: (1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2; (2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6; (3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x

二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2}; (2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则

数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6}; (3)不等式x-7<3的解是x<10,则

不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}. 点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合. 用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质. 变式训练

用描述法表示下列集合: (1)方程2x+y=5的解集; (2)小于10的所有非负整数的集合;

(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解; (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合; (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合; (6)方程组xy1,的解的集合; x-y1(7){1,3,5,7,…};

(8)x轴上所有点的集合; (9)非负偶数; (10)能被3整除的整数. 解：(1){(x,y)|2x+y=5}; (2){x|0≤x<10,x∈Z}; (3){(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};

(4){x||x|>3}; (5){(x,y)|xy<0}; (6){(x,y)|xy1}; x-y1(7){x|x=2k-1,k∈N*}; (8){(x,y)|x∈R,y=0}; (9){x|x=2k,k∈N}; (10){x|x=3k,k∈Z}. 知能训练

1.下列对象能否组成集合: (1)数组1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足3x-2>x+3的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国NBA的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于6的数; (7)所有绝对值小于3的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员; (9)参加2008年奥运会的中国代表团成员. 答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合,(5)(8)不能组成集合. 2.(口答)说出下面集合中的元素: (1){大于3小于11的偶数}; (2){平方等于1的数}; (3){15的正约数}. 答案：(1)其元素为4,6,8,10; (2)其元素为-1,1; (3)其元素为1,3,5,15. 3.用符号∈或填空: (1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;

(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R. 答案：

(1)∈

∈







(2)∈

∈

∈





(3)∈

∈

∈

∈



(4)∈

∈

∈

∈

∈

4.判断正误: (1)所有属于N的元素都属于N*.

(

) (2)所有属于N的元素都属于Z.

(

) (3)所有不属于N*的数都不属于Z.

(

) (4)所有不属于Q的实数都属于R.

(

) (5)不属于N的数不能使方程4x=8成立.

(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

3xy2,5.分别用列举法、描述法表示方程组的解集. 2x-3y27解：因3xy2,x3,的解为

2x-3y27y-7.3xy2}; 2x-3y27用描述法表示该集合为{(x,y)|用列举法表示该集合为{(3,-7)}. 拓展提升

问题:集合A={x|x=a+2b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、121、1与集合A之32间的关系. 活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x化为a+2b的形式,再判断a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可. 解：由于x=a+b2,a∈Z,b∈Z, ∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A. 又121=2+1=1+2, 当a=b=1时,a+b2=1+2,∴121∈A.

又132=3+2, 当a=3,b=1时,a+b2=3+2,而3Z, ∴132A. 132∴0∈A,121∈A,A. 点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系. 课堂小结

本节学习了:(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤. 作业

板书设计

1.1.1 集合的含义与表示

集合：

集合元素的三个特性

元素与集合的关系

常用数集

集合的表示方法：

列举法

描述法

课堂练习