小结教学设计第二课时

2.2 函数的单调性及应用教学设计（一轮复习）

福建省莆田第八中学 祁山国宝

一、教学目标：

1.使学生理解增函数、减函数的概念，使学生掌握判断函数增减性的方法；

2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；

3.培养学生数形结合，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

二．教学重点：

1.理解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法；

2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质。

三．教学难点：

1. 函数单调性的判断和证明，会利用函数的图象理解和研究函数的性质；

2.培养学生数形结合，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

四．教学过程：

（一）复习引入：（提问）

1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下：

（1）函数有几个要素？各是什么？

（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？

（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？

前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

2．观察函数的图像：（当x增加的时候，y的变化怎样？）

函数yx的图像在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x的增加，y值在2

1

增加），yx3又怎样？

（二）概括增函数和减函数的定义

1．单调函数的定义

（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

（2）单调减函数的定义：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间。在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

2．注意事项

（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；

（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：

①对任意的x1，x2M，若x1x2，有f(x1)f(x2)，则称f(x)在M上是增函数；

②若f(x)在M上是增函数，则当x1x2时，就有f(x1)f(x2)．

（三）单调性的判定及应用

1．函数单调性的判定与证明

[典例1] 试讨论函数f(x)＝x在(－1,1)上的单调性．

x1[点石成金] 判断函数单调性的方法

(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论．

(2)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减．

(3)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．

[解] 解法一(定义法)：

设－1

x－1x－12

x2x111f(x1)－f(x2)＝1＋, －1＋＝x1－1x2－1(x11)(x21)由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减。

解法二(导数法)：

f′(x)＝1(x1)2

由f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减。

2．求函数的单调区间

[典例2] 已知y＝－x＋2|x|＋1，求函数的单调递增区间．

－x＋2x＋1，x≥0， [解] 由于y＝2－x－2x＋1，x＜0，22

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]。

[点石成金] 1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法

[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

3．利用函数单调性比较大小和求解不等式

[典例3] [2017·黑龙江哈尔滨联考]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f－，b＝f(2)，c＝f(e)，则2a，b，c的大小关系为(

) A．c＞a＞b C．a＞c＞b B．c＞b＞a

D．b＞a＞c

1[解析] 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．

3

15由此可得f

－＝f

. 22由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，

知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

55∵1<2<f

>f(e)，∴b>a>c. 22（三）课堂练习和提升

[变式1] 已知函数f(x)＝|－x＋2x＋1|，求函数的单调递增区间？

[变式2] 用定义法证明函数2f(x)x1x（1，）在区间上是单调递增函数。

[变式3] 已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，1求满足不等式f(2x－1)＜f的x取值范围。

3（四）课堂小结和作业

1、判断函数单调性的方法

(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论．

(2)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减．

(3)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．

2、利用函数单调性求解不等式策略

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

3、确定有解析式的函数单调区间的三种方法

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