习题1.2教学实录与评析

函数及其表示

知识点

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1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

知识与能力

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

过程与方法

情感态度与价值观

通过4个考点题型练习的训练，增强对函数概念的理解。

体会分类讨论思想在分段函数中的应用。

1．函数与映射的概念

两集合A、B 对应关系

函数

设A，B是两个非空的数集

如果按照某种确定的对应关系f，f：A→B 映射

设A，B是两个非空的集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

对应f：A→B是一个映射

名称

记法

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)(x∈A)

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数．

1．辨明两个易误点

(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

2．函数解析式的四种常用求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1(4)方程组法：已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

1.教材习题改编

函数f(x)＝2x－1＋A．[0，2)

C．[0，2)∪(2，＋∞)

1的定义域为(

) x－2B．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) x2－1≥0，

C

[解析] 由题意得解得x≥0且x≠2. x－2≠0，x，x≥0，2．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(

) －x，x＜0，A．－3

C．－1

B．±3 D．±1

D

[解析] 若a≥0，则a＋1＝2，得a＝1；若a＜0，则－a＋1＝2，得a＝－1. 3.教材习题改编

如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)

D

[解析] 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．

4．若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．

[解析] 因为x－4有意义，所以x－4≥0，即x≥4.

又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，

所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.

所以其值域为[－1，＋∞)．

[答案] [－1，＋∞) 5.教材习题改编

函数y＝|x＋a|的图象与直线y＝1围成的三角形的面积为________．

[解析] 作出其图象如图所示，

y＝|x＋a|，由得

y＝1，A(－1－a，1)，B(1－a，1)，

1所以|AB|＝2，所以S△ABC＝×2×1＝1.

2[答案] 1

函数的基本概念

[典例引领]

以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

x(1)f1：y＝；f2：y＝1. x1，x≤1，(2)f1：y＝2，1

3，x≥2.f2：

x y (3)f1：y＝2x；f2：如图所示．

x≤1

1

1

2

x≥2

3

【解】

(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.

(2)同一函数，x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方

式．

(3)同一函数．理由同(2)．

函数为同一个函数的判断方法

(1)两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

(2)函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．

有以下判断：

1，x≥0，|x|①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

x－1，x＜0，②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；

1＝0. ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2其中正确判断的序号是________．

1，x≥0，|x|[解析] 对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝x－1，x＜0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于④，111由于f2＝2－1－2＝0，

1＝f(0)＝1.

所以ff2综上可知，正确的判断是②③.

[答案] ②③

求函数的定义域

[典例引领] x＋2x2

(1)函数f(x)＝的定义域为________．

lg（|x|－x）f（2x）(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．

x－1【解析】

(1)要使函数f(x)有意义，必须使

x＋2x≥0，1|x|－x>0，解得x<－2.

|x|－x≠1，1x<－.

所以函数f(x)的定义域为x2x－1≠0，(2)由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．

0≤2x≤2，21x<－

(2)[0，1) 【答案】

(1)x2

[通关练习] 3x21．(2017·淄博模拟)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(

) 1－x1－，＋∞

A.311－，

C.331－，1

B．31－∞，－

D．31－x>0，

B

[解析] 要使函数有意义，需满足

3x＋1>0.1解得－0且a≠1)的定义域为________．

ax－11－|x－1|≥0，0≤x≤2，[解析] 由x⇒⇒0

a－1≠0x≠0[答案] (0，2]

求函数的解析式

[典例引领] 11x＋＝x2＋2，则f(x)的解析式为________．

(1)已知fxx2(2)已知fx＋1＝lg x，则f(x)的解析式为________．

(3)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．

1(4)函数f(x)满足方程2f(x)＋fx＝2x，x∈R且x≠0，则f(x)＝________．

111x＋＝x2＋2＝x＋－2，

【解析】

(1)由于fxxx所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．

22(2)令＋1＝t，由于x>0，所以t>1且x＝，

xt－122所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．

t－1x－1(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.

所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

4a＝4，所以

4a＋2b＝2，a＝1，所以

b＝－1，2所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.

1(4)因为2f(x)＋fx＝2x，①

1112将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝.②

xxxx12由①②消去f，得3f(x)＝4x－.

xx42所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．

33x【答案】

(1)f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)

(2)f(x)＝lg42(4)x－(x≠0) 33x

若本例(4)条件变为2f(x)＋f(－x)＝2x，求f(x)．

[解] 因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①

将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②

由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，

所以f(x)＝2x.

2(x＞1)

(3)f(x)＝x2－x＋3

x－1

[通关练习] 1．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．

[解析] 法一：设t＝x＋1，

则x＝(t－1)2(t≥1)；

代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.

故f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二：因为x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，

所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，

即f(x)＝x2－1(x≥1)．

[答案] x2－1(x≥1) 2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．

[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.

又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，

所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.

[答案] x2＋2x＋1

分段函数(高频考点) 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：

(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；

(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)；

(3)由分段函数解析式，求解不等式；

(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解) [典例引领] 1－x，x≥0，

(1)(2015·高考陕西卷)设f(x)＝x则f(f(－2))＝(

) 2，x<0，

113A．－1

B.

C.

D.

422x＋1，x≤0，1x－>1的x的取值(2)(2017·高考全国卷丙)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f22，x>0，范围是________．

11－【解析】

(1)因为－2<0，所以f(－2)＝22＝>0，所以f4＝1－

4111＝1－＝.

42211111x－＝2x－>1，当x－≤0，(2)当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f2222211111x－1x－＝x＋>，则不等式f(x)＋fx－>1恒成立．即0

＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－

【答案】

(1)C

(2)4

分段函数问题的求解策略

(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．

[题点通关]

角度一

由分段函数解析式，求函数值(或最值) 1．(2017·云南省第一次统一检测)已知函数f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(x－90)lg x，x>0＝，则f(10)－f(－100)的值为________．

－x，x≤0[解析] 因为f(10)＝f(100－90)＝lg 100＝2，f(－100)＝f(－10－90)＝－(－10)＝10，所以f(10)－f(－100)＝2－10＝－8.

[答案] －8

角度二

由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)

2．设函数f(x)＝A．－4或－2

C．－2或4

－x，x≤0，x，x＞0，2若f(α)＝4，则实数α的值为(

) B．－4或2 D．－2或2

B

[解析] 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0时，f(α)＝α2＝4，α＝2，

故选B．

角度三

由分段函数解析式，求解不等式

2x＋2ax，x≥2，3．已知函数f(x)＝x若f(f(1))＞3a2，则a的取值范围是________．

2＋1，x＜2，[解析] 由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，

若f(f(1))＞3a2，则9＋6a＞3a2，即a2－2a－3＜0，

解得－1＜a＜3.

[答案] (－1，3) ——分类讨论思想在分段函数中的应用

x12－2，x≤1，

(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－log2（x＋1），x＞1，－－a)＝(

) 7A．－

43C．－

4【解析】

由于f(a)＝－3，

①若a≤1，则2a1－2＝－3，整理得2a1＝－1.

－－5B．－

41D．－

4由于2x＞0，所以2a1＝－1无解；

－②若a＞1，则－log2(a＋1)＝－3，

解得a＋1＝8，a＝7，

所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－17－2＝－.

47综上所述，f(6－a)＝－.故选A. 4【答案】

A

(1)解答本题利用了分类讨论思想，因f(x)为分段函数，由于a不确定，应分情况讨论．

(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．

x2＋2x，x<0，

1.(2017·德州模拟)已知函数f(x)＝2若f(－a)＋f(a)≤0，则x－2x，x≥0.实数a的取值范围是(

) A．[－1，1]

B．[－2，0] C．[0，2]

D．[－2，2]

D

[解析] 依题意可知

a≥0，

22（－a）＋2（－a）＋a－2a≤0a<0，或解得a∈[－2，2]．

22（－a）－2（－a）＋a＋2a≤0，x2，x≤0，2．(2017·河南开封一模)设函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解集为________．

|logx|，x>0，21[解析] 由f(x)＝1，知当x≤0时，2x＝1，则x＝0；当x>0时，则|log2x|＝1，解得x＝或212，所以所求解集为0，2，2.

1[答案] 0，2，2

作业：

2x＋2，x≤0，1．(2017·黑龙江哈尔滨一模)若函数f(x)＝x则f(f(1))的值是(

) 2－4，x>0，A．－10

B．10 C．－2

D．2

C

[解析] f(1)＝21－4＝－2，所以f(f(1))＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C. 2．下列哪个函数与y＝x相等(

) x2A．y＝

xC．y＝x2

B．y＝2log2x

3D．y＝(x)3

x2

D

[解析] y＝x的定义域为x∈R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2xx的定义域为{x|x∈R，且x＞0}，排除A、B；y＝x2＝|x|定义域为x∈R，对应关系与y＝x3的对应关系不同，排除C；而y＝(x)3＝x，定义域与对应关系与y＝x均相同，故选

D．

3x－b，x<1，53．(2015·高考山东卷)设函数f(x)＝x若f(f())＝4，则b＝(

) 62，x≥1.A．1

3C.

47B．

81D．

255553515

D

[解析] f()＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×(－b)－b＝－4b＝4，662222275351解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝. 82222

14．函数f(x)＝ln(1＋)＋1－x2的定义域为(

) xA．(－1，1]

C．[0，1]

B．(0，1] D．[1，＋∞) 11＋＞0，x

B

[解析] 由条件知

x≠0，1－x≥0.2x＜－1或x＞0，即x≠0，

－1≤x≤1.则x∈(0，1]．

所以原函数的定义域为(0，1]．

5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(

) A．g(x)＝2x2－3x

C．g(x)＝3x2＋2x

B．g(x)＝3x2－2x

D．g(x)＝－3x2－2x

B

[解析] 用待定系数法，设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，

a＋b＋c＝1，a＝3，所以a－b＋c＝5，解得b＝－2，所以g(x)＝3x2－2x. c＝0，c＝0，6．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(

) A．1

C．3

B．2 D．4

D

[解析] 由已知可得M＝N，

a2－4a＝－2a2－4a＋2＝0，故2⇒2

b－4b＋1＝－1b－4b＋2＝0，所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4. 7．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________．

[解析] 令2x＋1＝a，则x＝a－1，

23（a－1）－4，

2则f(2x＋1)＝3x－4可化为f(a)＝3（a－1）19因为f(a)＝4，所以－4＝4，解得a＝.

23

[答案] 8. 19

3

若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．

1[解析] 由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)2x＋1，－1≤x<0，＝1

－x，0≤x≤2.2x＋1，－1≤x<0，[答案] f(x)＝1

－x，0≤x≤222x＋a，x<1，9．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

－x－2a，x≥1.[解析] 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.

3由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.

2不合题意，舍去．

当a<0时，1－a>1，1＋a<1，

此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，

f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，

3由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.

43综上可知，a的值为－.

43[答案] －

42－1，x≥0，110．设函数f(x)＝若f(f(a))＝－，则实数a＝________. 21x，x<0，[解析]

若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，1a此时只能是a<0，于是a＝－(若a>0，由－1＝－2，解得a＝－2不满足题意)．

221[答案]

4或－

2x

ax＋b，x<0，11．设函数f(x)＝x且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．

2，x≥0，(1)求f(x)的解析式；

(2)画出f(x)的图象．

－2a＋b＝3，[解] (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得解得a＝－1，b＝1，

－a＋b＝2，－x＋1，x<0，所以f(x)＝x

2，x≥0.(2)f(x)的图象如图：

12．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积

y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．

[解] 如图，因为AB＋BC＋CD＝a，

所以BC＝EF＝a－2x>0，

a即0

2所以∠A＝60°，

x3所以AE＝DF＝，BE＝x，

22xx13x2（a－2x）＋＋

y＝(BC＋AD)·BE＝2224＝33(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)

4433a23x－＋a2，

＝－4312aa330，，值域为0，a2. 故当x＝时，y有最大值a2，它的定义域为231212