探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优秀公开课教案

高中数学教案

函数

（第二章）

李建国

互为反函数的两个函数图像之间的关系

授课人：李建国

华中师范大学附属第一中学

【知识教学点】：

1．反函数的概念。

2．反函数的求法。

3．互为反函数的函数图象间的关系。

【重点】：

反函数的概念，求反函数的方法，解决方法：引导学生分析探求，反函数定义是一种生成性定义，突出反函数的获得的过程分析。

【教学步骤】：

1．我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即svt，其中速度v是常量。反过来，可以由位移s和速度v(常量)确定物体作匀速直线运动的时间，即t这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数。

在这种情况下，我们就说ts。

vs是函数svt的反函数。

vy3(yR)，3又如，y3x9(xR)，x是自变量，y是x的函数，若从中找出x，则x即对于y在R中任何一个值，都可以通过xy3在R上找到惟一的x与之对应，也就可3y3叫做y3x9(xR)的反函数。

3一般地，函数yf(x)(xA)，设它的值域为C，根据函数x，y的关系，用y把x表示出来，得到xg(y)，对于y在C中的任何一个值，通过xg(y)，x在A中都有惟一的值与它对应，则xg(y)就是y是自变量，x是自受量y的反函数，这样函数xg(y)(yC)以把y看作自变量，x作为y的函数，我们将x叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)。习惯上x表示自变量，y表示函数，因而对调函数xf1(y)中字母x、y，改写yf1(x)。

2．反函数x(y)是yf(x)的反函数的条件是什么？

（1）x(y)是由yf(x)求出的式。

（2）x(y)为函数。

3．说明几点

（1）f1(x)表示反函数符号，f1表示对应法则f1(x)另一个整体符号。

（2）若函数yf(x)有反函数yf1(x)，则yf1(x)的反函数为yf(x)，即yf(x)与yf1(x)互为反函数。

（3）yf(x)是定义域A到集合C的一一映射，它的反函数yf1(x)为集合C到集合A的一一映射。

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（4）反函数的定义域与值域应该正好为原函数的值域与定义域，否则不能算为原函数的反函数。

（5）任何一个函数不一定有反函数，当映射为一一映射时有反函数。

（6）反函数也为函数。

例1．（1）y3x1(xR)；

（3）yx1(x0)；

解：（1）由y3x1，得x

（2）yx31(xR) ；

（4）y2x3(x1)

2x1y1，

3x1(xR)

3所以函数y3x1(xR) 的反函数为y（2）由函数yx31(xR)，得x3y1

所以函数yx31(xR)的反函数为y3x1(xR) （3）由yx1，得x(y1)2，

所以yx1(x0)的反函数为y(x1)2(x1)

（4）由函数yy32x3，得x

y22x1所以函数y2x3x3(xR，x1)的反函数是y(xR，x2) 2x1x2【求解反函数的步骤为】：

1．求yf(x)的值域。

2．将yf(x)看作方程，解出xf1(y)。

3．最后将x, y互换，得到yf1(x)(

)。

例2．求函数f(x)

x21(x0)2x1(x0)的反函数。

解：（1）由yx21，得x2y1

当且仅当y10时，即y1时，x在[0, )上有唯一解，得xy1

故yx21(x0)的反函数为yx1(x1)

（2）y2x1，得xy1

①

2∵x0，∴y1，当且仅当y1时，①在R上有唯一解，

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故y2x1(x0)的反函数为y1x1(x1)

2∴fx1(x1)

(x)

x1(x1)23．函数yf(x)与它的反函数yf1(x)关于yx对称。

（1）若M(a, b)在yf(x)上，则M'(b, a)在yf1(x)上

证：若M(a, b)在yf(x)上，则bf(a)，即af1(b)，即点M'(b,a)在yf1(x)上

（2）若yf(x)在[a, b]上为增函数，求证：函数f1(x)在[f(a)，f(b)]上也是增函数。

证：设x1x2，且x1, x2[a, b]，f(x)是增函数，则f(x1)f(x2)

其中y1f(x1)，y2f(x2)，即y1y2，y1, y2[f(a)，f(b)] 又x1f1(y1)，x2f1(y2)，∴x1x2，∴f1(y1)f1(y2)

∴yf1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数。

（3）互为反函数的两个图象的性质定理要抓住以下三点：

①若点A(a, b)在yf(x)上，则点A'(b, a)在yf1(x)上。

②若点A，A'关于直线yx对称，若点A'在yf1(x)上，则点A在yf(x)上。

x5与函数yf(x)的图象关于yx对称，则m1。

2xm2x15例2．若点A(2, m)在函数y的反函数图象上，则m。

4x36例1．已知f(x)【注】：几个性质

①yf(x)与yf1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为C，则有：

f[f1(x)]x(xC)

f[f1(x)]x(xA)

②互反的两个函数单调性一致，奇偶性一致。（偶函数存在反函数吗？）

例1．判断函数yx是否有反函数。

1x2解：∵定义域为R，∴设x1, x2R且x1x2

如果x1x222，则x1x1x2x2x1x2，即(x1x2)(1x1x2)0

221x11x2∵x1x2，∴1x1x20，∴x1x21 这是可能的，

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例如x1xx21，x22，从而有12，∴它没有反函数

21x11x22例2．证明：单调函数一定有反函数。

证：yf(x)在定义域内是增函数，对于定义域内的任意两个值x1, x2，

若x1x2，则有f(x1)f(x2)；若xx2，则有f(x1)f(x2)

即x1x2，则f(x1)f(x2)，因而一定有反函数。

同理可证：当yf(x)在定义域内是减函数时，yf(x)一定有反函数。

例3．求函数f(x)x22x4(x1)的反函数，并判断f1(x)的单调性。

解：由yx22x4(x1)23(x1)

y3

解得xy31(x1)

∴f1(x)x31(x3)

由定义可判断yf1(x)为增函数。