6.2 一次函数教学实录与评析

6.2一次函数（2）待定系数法求解析式

教学目标：

1．进一步理解一次函数和正比例函数的概念及它们的联系．

2．能根据所给条件运用“待定系数法”确定函数表达式．

3．通过探索体会函数在生活中的广泛应用性，逐步深化对函数思想的理解．

【教学重点】运用待定系数法求一次函数解析式．

【教学难点】运用待定系数法求一次函数解析式．

教学过程：

环节一：创设情境，引入新知

问题情境：

例1．一盘蚊香长105cm，每小时缩短10cm．

（1）写出蚊香点燃后的长度y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数表达式；

（2）该盘蚊香可燃烧多长时间？

解：（1）蚊香点燃后，每小时缩短10cm，th将缩短10tcm，所以蚊香点燃后的长度与燃烧时间之间的函数表达式为：

y10510t．

（2）蚊香燃尽，即y0．

由10510t0，得t10.5

该盘蚊香可燃烧10.5h．

例2．在弹性限度内，弹簧长度y(cm)是所挂物体质量x(g)的一次函数．已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时的长度为15cm，试求y与x的函数表达式．

解：根据题意，设y与x的函数表达式为ykxb，其中k0．

由x10时，y11，得1110kb；

由x30时，y15，得1530kb；

10kb11k0.2解方程组，得，

30kb15b9所求函数表达式为y0.2x9

得出结论：像例2这样，先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数．

【设计意图】引出待定系数法概念，规范书写过程，为后面归纳待定系数法求一次函数解析式做铺垫．指出：确定函数的表达式有两种情况，一是直接根据题意写出解析式，如例1的第（1）问；二是用待定系数法求函数解析式，如例2的第（1）问．

【教学建议】例1建议学生口答，老师板书整理后的函数关系式；例2可由小组共同讨论后共同解决，但教师对书写过程要有一个示范过程．

环节二：合作学习，探究新知

例3．已知y是x的一次函数，图象过点(2，-1)、(3，5)，求这个一次函数的解析式．

解：根据题意，设y与x的函数表达式为ykxb，其中k0．

2kb1由题意得，

3kb5k6解得．

b13∴所求一次函数解析式为y6x13．

【设计意图】让学生体会求一次函数的解析式必须要有2个点坐标．师生共同总结待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：设—设出一次函数的一般形式；代—将已知数值代入解析式得出方程或方程组；求—求出待定系数，k、b的值；写—写出一次函数的解析式．

【教学建议】学生小组自主学习与合作探究，并模仿例2完成：

变式：已知y是x的一次函数，当x2时，y1；x3时，y5．求这个一次函数的解析式．

通过变式，让学生了解到点的坐标的不同情况；同时强调用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤．

环节三：拓展提高，加深理解

例4．已知yy1y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x1时，y2；当x2时，y5，求y与x的函数关系式．

解：根据题意，设y1k1x，y2k2x2，其中k10且k20，

∴yk1xk2(x2)

由题意得：k13k22，

2k155k12解得：，

3k2253∴yx(x2)x3，

22即y与x的函数关系式为yx3．

【设计意图】加深理解求一次函数解析式需要2个条件，同时本题中出现两个正比例函数y1与y2，学生设这两个函数关系式时往往不注意待定系数是不同的，因此要特别强调待定系数必须要用k1、k2加以区分．求出k1、k2后还需写出y与x的函数关系式．

【教学建议】学生独立解决，教师巡查，小组成果展示．

环节四：巩固练习，灵活运用

1．填空：

（1）已知函数y4x5．当x3时，y ；当y5时，x= ．

（2）已知函数y3x1．当x2时，y ；当y0时，x= ．

（3）已知y与x成正比例，且当x1时，y0.5，则函数关系式是 ．

（4）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有下

0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 12．5 13 13．5 14 14．5 15 15．5 16 那么弹簧的总长y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为 ；

2．甲、乙两地相距520km，一辆汽车以80km/h的速度从甲地开往乙地，行驶了th．求剩余路程S(km)与行驶时间t(h)之间的函数表达式，并根据问题的实际意义确定t的取值范围．

【设计意图】巩固性练习，同时了解学生对待定系数法求一次函数的掌握情况，强调待定系数法解题的格式与步骤．

【教学建议】老师规定时间，学生独立完成，小组过关．

环节五：小结提升，知识升华

1．待定系数法的概念；

2．用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤；

3．这节课你有哪些收获？

【设计意图】有效地帮助学生建构知识体系，提高总结和反思能力，发展学生的数学交流能力，通过畅谈收获和感受，以体现评价体系的多元化，体验数学的价值．

【教学建议】总结时再次强调解题过程中出现的常见错误．

列关系：

x

y

目标检测：

1．已知函数y2x3，当x2时，y＝_______；当y＝1时，x＝_______．

2．已知y是x的一次函数，又表给出了部分对应值，则m的值是_______．

x

y

1

5

2

1

5

m

3．若一次函数ykxb，当x的值增加1时，y的值就减小2，则当x的值减小2时，y的值

(

)

A．增加4

B．减小4

C．增加2

D．减小2 4．已知函数yaxb，当x1时，y1；当x2时，y5．

(1)求a，b的值；

(2)当x0时，求函数值y；

(3)当x取何值时，函数值y为0?

5．已知y1与x成正比例，当x1时，y3．

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)y是x的一次函数吗？

(3)当x2时，求y的值．

2

6．某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费60元，小车收费50元，若某天过往车辆为3 000辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系式及x的取值范围．

7．有一旅客从甲地乘飞机去乙地，按民航规定最多可免费携带的行李质量为20kg，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票．

(1)若飞机票价格为a元（a为常数），行李质量为xkg，旅客乘机需付y元，试写出y与x的函数关系式；

(2)当x30kg，旅客购买的行李票为120元，求机票价格a．

8．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费，如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费，设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．

(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式；

(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

参考答案：

1．

7，2

2．

7

3．

A 4．(1) a6，b7

(2) 7

(3)27

65．(1)y2x1

(2)不是一次函数关系

（3）9 (0x3000)

6．y10x1800007．(1)当0x20时，ya；当x20时，ya1.5%a(x20)

(2)800元．

8．(1) y2.8x18．

(2)30吨．