3.4.2 函数模型及其应用多媒体教案及点评

高三应用题专题

一、【考点概述】∶数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，

也是考生失分较多的一种题型。

近几年江苏高考中一般编制17、18大题中的一题。解答这类问题的关键是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，江苏高考中，

函数，三角，

解几，

不等式是较为常见的模型，

而概率，

数列，统计，算法等模型也应在复习时引起注意

二、【高考再现】：

1、（2013江苏高考题18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径. 一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA(1) 求索道AB的长；

(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3) 为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

2．(2014江苏高考题18)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点AtanBCO4．位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，

3学科王学科王123，cosC. 135（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

1

3.（2015年江苏高考17题）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数ya（其中a，b为常数）模型.

2xb[m]

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

三、【课前预习】

1、正余弦定理及不等式的应用：

如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

2

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

2、函数的应用:

轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．

（1）求助跑道所在的抛物线方程；

（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

y4ADCBO2Ex

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3、导数的应用：如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB103m，CD33m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：

（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？

（2）如图（2）设两根钢管相距33m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图【中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？

A A E E C C D B F 图1

四、【例题分析】：

F D 图2 B

例1、正余弦定理及不等式的应用：海岸线MAN，A2,现用长为l的拦网围成一养殖场，其中BMA,CNA．（1）若BCl, 求养殖场面积最大值；

（2）若B、C为定点，BCl，在折线MBCN内选点D，使BDDCl，求四边形养殖场DBAC的最大面积；

（3）若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.

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例2、函数的应用：

某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记∠EFA

＝

α, α为锐角．

（1）用α表示AF的长；

（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于α的函数关系S(α)；

（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，应如何设计α的大小？

α

A E D

B F C

例3、导数的应用：某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线单位：米）；曲线好等于圆是以点为圆心的圆的一部分，其中的一部分；米. （，且，恰是抛物线的半径. 假定拟建体育馆的高

（1）若要求米，米，求与的值；

不超过米，求的取值范围；

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度

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（3）若，求的最大值. （参考公式：若

，则）

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