3.4.1 函数与方程教学内容分析

必修一２.5.1函数的零点

江苏省金湖中学

张艳

【教学目标】

知识与技能目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”

的判断方法，对新知识加以应用。

过程与方法目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想. 情感、态度与价值观: 认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；

让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】

理解函数零点概念，初步形成用函数观点处理问题的意识.

【教学难点】

函数零点存在性定理的理解及初步应用

【教学方法】

发现、合作、讲解、演练相结合.

【教学过程】

（一）第一阶段：“函数的零点”概念的构建

引语：同学们应该有过这样的体验,有时,从不同的角度看同一个事物,会得到不同的结果或理解。

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问题1：从不同的角度看y=3 x-6,你有什么样的理解？

生1：它是一次函数，图象是一条直线。

师：已经有两种结果了，还有吗？假如从一个等式的角度看，含有两个未知数的等式叫什么？

生（众）：二元一次方程。

师：对于y=3 x-6，现在我们可以有三种理解，即函数、直线和方程。

问题2：在y=3 x-6中,令y=0 ，得 x=2，你对x=2又有怎样的理解？

生2：可以看成是方程3 x-6 =0的根。

生3：可以看成是函数y=3 x-6的图象与x轴交点的横坐标。

师：这里的2既有数的意义，有具有形的意义。其实，这个2还有一个名字，叫做函数y=3 x-6的零点，这就是我们这节课所要研究的问题。

我们把2叫做函数y=3 x-6的零点，为什么要取“零点”这个名字呢？

生（众）：因为它是由y=0求得的。

问题3：对于一般的函数y=f(x)，你认为该如何定义它的零点呢？

生4：方程f(x)=0的根，叫做函数y= f(x)的零点。

师：非常好！对于这个定义，我们也可以从数和形的角度来刻画。从数的角度怎样来理解？

生5：从数的角度来看是方程f(x)=0的根，从形的角度来看是函数y= f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

师：非常好。

问题4：如图已知函数f(x) =(x+1) (x-1) (x-2)，

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你能说出这个函数的零点是什么呢？

y 有两种答案可供选择：

（1）-1，1，2；

（2）（-1，0），（1，0），（2，0）, 哪种说法对，为什么呢? 生6：选（1）。根据定义，函数的零点是它的图象与x轴交点的横坐标，是一个数，而不是一个点。

师：很好，下面我们对函数零点的概念做一个反思：

（1）零点不是点。

（2）从数和形两个角度理解函数零点的概念，如图

方程f(x)=0的根

函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标

-1 1 2 x 函数y=f(x)的零点

（3）归纳如何求函数零点

①解方程f(x)0而得到（代数法）；②利用函数yf(x)的图象找出零点．（几何法）

问题5：特殊的，根据二次函数yax2bxc(a0)的图象、二次方程的根和二次函数的零点之间的关系，完成下表：

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△b24ac

△0

△0

△0

ax2bxc0的根

yax2bxc的图象

yax2bxc的零点

第一阶段设计意图：

通过以上几个子问题的设置不仅蕴涵了从特殊一般特殊的研究思想，还包含了概念的辨析，更强化了函数的零点的几种等价理解，使得该概念的教学自然、到位、深刻。

(二)第二阶段：“零点的存在性定理”的生成。

师：下面我们来探究函数在什么下有零点。请大家做一个实验：每位同学的桌上都有一支笔芯和一条细线，如果我们把笔芯所在直线假想成x轴，把细线当成函数的图象。现在请你将细线和笔芯放在桌面内，保持笔芯固定不动，活动细线的两个端点（记为A、B），观察细线与笔芯的交点的个数，思考下列问题：

问题1：如果A、B在笔芯的异侧，那么细线和笔芯所在直线的交点有几个？

生1：一个。

师：为什么？

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生1：因为细线的两个端点在笔芯的异侧，所以细线必定要穿过笔芯所在直线。

师：很好，还有没有别的想法？请大家在动手摆一摆手中的图形，请大家展示。

生2：可能有如下三种可能：

a 图1 b a b 图2 a 图3 b

师：大家对这三种图象有什么想法？

（经过学生讨论）

生3：图1就是学生1回答的情况，图3可能，图2错误，因为它不是函数图象。所以至少有一个交点。

师：很好，此时函数在[a,b]之间一定有零点。

问题2：如果A、B在笔芯的同侧，那么细线和笔芯所在直线的交点有几个？

生4：不能确定，可能没有，也可能有。

师：如果有，交点个数能确定吗？

生4：也不能确定。

师：很好。

问题3：满足什么条件，细线和笔芯所在直线一定有交点？

生5：细线的两个端点在笔芯的异侧。

师：如果细线断了，还能保证吗？

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生（众）：不能。

师：还得加上什么条件？

生（众）：细线要是连着的。

师：这个状态我们可以用一个数学术语来描述，叫做“不间断”。

问题4：结合函数的零点的概念，我们可以用怎样的数学语言来表达上述结论？

生6：如果函数y=f(x)满足f(a) 与f(b)一正一负，且函数y=f(x) 在区间[a,b] 上的图象不间断，那么该函数y=f(x) 在区间[a,b]上一定有零点。

巩固练习:已知函数f（x）= －3x5－6x＋1有如下对应值表：

x －2 －1.5 0 1 2 f（x）

109 44．17 1 －8 －107 函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？

下面我们对该定理做一个反思：

（1）“不间断”这一条件能去掉吗？

（2）这个条件下，得到的零点唯一吗？

（3）反过来，有零点一定能推出f(a) *f(b)＜０吗？

（4）如果f(a) *f(b)>０，就一定没有零点吗？

(学生充分思考后,组织交流) 第二阶段设计意图：

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在实验的基础上,通过以上4个问题引领学生建构出了函数零点的存在性定理,毫无疑问,对于学生来讲,这个过程是直观的,结论是自然的,理解是深刻的. （三）例题及变式训练

例 求证：二次函数y2x23x7有两个不同的零点。

（请同学用多种方法证明）

分析1：从方程的角度，通过△>0易知。

2：从图象的角度，a>0且 f(1)<0 变式训练1：判断函数y2x23x7在区间（0，2）上是否存在零点。

分析1：从方程的角度，因为03652易知。

4 2：从图象的角度（零点存在性定理可知），f(0)*f(2)<0 变式训练2：判断函数y2x33x7在区间（0，2）上是否存在零点。

分析：学生通过比较，通过零点存在性定理易得。

此处设计意图: 对书中的例题进行调整，保留例1，将例2、例3适当调整变成例1的变式训练，目的（1）能更充分的利用学生已获得资源，使学生获益更大化。（2）通过变式训练，促使学生对“新”“旧”方法产生对比，重新构建网络。

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（四）总结升华

问题：通过本节课的学习，你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获? 设计意图：通过小结，理清思路，归纳总结，更好的掌握知识技能，理解数学思想方法，提高解决问题的经验．

（五）作业与课外活动

作业：

书P76 练习1 、2

课外活动

在一个星期内,五位同学为小组合作完成一篇关于方程发展史的数学小论文或去探究一下如何缩小零点所在的区间.

(六)板书设计

例题：

变式训练1 变式训练2 函数的零点

1、

函数零点的概念

①

②

③

2、

函数零点的存在性定理

①

②

3、思想方法有：

学生练习

幻灯屏幕

【课后反思】

在设计这节课之前，我思考的主要问题有两个：一是如何引入，二是“零点存在定理”如何呈现出来？我查了相关资料，在借鉴同行

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做法的基础上，主要结合自己的教学风格和学生的特点形成了教学设计中的处理方式。主要注意强调以下几点：

（1）有“思”。以问题串的形式层层设疑，引导学生去自主探究、合作交流、，将被动学习转变为主动学习，并在解决问题的过程中体验快乐，感受成功。我将本节课分为两个阶段，第一阶段：“函数的零点”概念的构建。第二阶段：“零点的存在性定理”的生成。都采用子问题的形式引导学生带着问题进行积极的自主学习，由表及里，由浅入深地自我建构知识。

（2）有“动”。

处理“零点的存在性定理”的生成这一环节，通过实验及4个子问题引领学生建构出了函数零点的存在性定理。对于学生来讲,这个过程是直观的,结论是自然的,理解是深刻的，从而易于突破本节课难点。通过实验充分发挥学生的主体作用，给学生足够的时间和空间，使学生在课堂上既有动手操作的实践活动，又有动脑思索和探究的数学思维活动，使学生的手、脑、眼、耳、口多种感观全方位参与学习，让课堂充满活力。

（3）有“变”。

对书中的例题进行调整，保留例1，将例2、例3适当调整变成例1的变式训练，目的（1）能更充分的利用学生已获得资源，使学生获益更大化。（2）通过变式训练，促使学生对“新”“旧”方法产生对比，重新构建知识。

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