习题1.2第一课时教学设计

课题：函数复习课

庐江县汤池中学

函数的奇偶性

一、复习目标

1、通过复习，使学生熟练掌握奇、偶函数的概念及相关性质，奇、偶函数的判定，能够灵活运用函数的奇偶性解决相关问题。

2、通过复习，培养学生化归、分类以及数形结合等数学思想，提高学生分析，解决问题的能力。

3、在复习过程中，倡导大家勤于思考，勇于探索，相互合作，充分发挥个人的智慧与集体的力量，享受数学学习带来的乐趣。

二、复习重点

函数奇偶性的判定及应用。

三、复习难点

函数奇偶性的应用。

四、复习关键

奇、偶函数的定义，它是性质与判定的基础。

五、知识要点

1、提出问题：

（1）什么是奇函数、偶函数？

（2）你能根据奇偶函数的定义，探究具有奇偶性的函数的相关性质及图象特征吗？

（3）回忆并归纳函数奇偶性的判定方法。

2、讨论、总结；

（1）奇、偶函数的定义：

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=- f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

（2）奇、偶函数的相关性质：

1

①具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称（x与-x要同时存在）。

②若奇函数定义域内包含0，则f（0）=0 ③奇函数的图象关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性（f(-x)=- f(x)）

④f(x)为偶函数 f(x)= f(|x|) ⑤偶函数的图象关于y轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相反。

（3）函数奇偶性的判定：

①定义法：（先考察定义域是否关于原点对称，再考察f(-x)与f(x)的关系，最后下结论）

②图象法：奇函数函数图象关于原点对称

偶函数函数图象关于y轴对称

③性质法：奇+奇=奇，偶+偶=偶；奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇

④复合函数f[g(x)]:“有偶则偶”，“同奇则奇”。

3、热身演练：

口答下列问题；

（1）若函数y= f(x)（xR）是奇函数，下列坐标表示的点，一定在函数y= f(x)图象上的是（ ）

A、（a,f(-a)） B、(a,-f(a)) C、(-a,-f(a)) D、(-a,f(a))

（2） x(x＞0) f(x)= 0(x＝0) 是 函数（填“奇”或“偶”）

-x(x＜0) （3）若f(x)=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，则g(x)=ax3+cx+b的奇偶性是 ；

（4）如果定义在区间[3-a，5]上的函数f（x）是奇函数，那么a=

。

①通过练习，进一步认识函数的奇偶性；

②数学其实很简单，只要我们能牢固掌握基础知识。

六、典例精析：

2

例1：判断下列函数的奇偶性

36x2（1）f（x）=

|x3|3（2）f（x）=log2（x+x21）

x2-2x+3 （x＞0）

（3）f（x）=

x2+2x+3 （x＜0）

（4）f（x）=1x2+x21

（请大家试一试，要求：①方法尽量多，②方法尽可能优）

解：（1）由

36-x2≥0 得-6＜x＜0或0＜x≤6 |x+3|-3≠0

即函数f（x）的定义域为（-6，0）∪（0，6]

则函数的定义域不关于原点对称

∴f（x）是非奇偶函数

（2）函数的定义域为R ∵f（-x）=log2（-x+x1）=log22x21x2xx12=log21xx12

=log2（x+x21）=- f（x）] ∴f（x）为奇函数

（3）当x＞0时，-x＜0

方法二：图象法（略）

∴f（-x）=x2-2x+3= f（x）

当x＜0时，-x＞0 f（-x）=x2+x+3= f（x）

∴f（x）为偶函数

2

1-x≥0

2（4）由

得x=1即x=±1

3

2

x-1≥0 ∴f（x）=0

（x=±1）

即f（-x）= f（x），又f（-x）=- f（x）

∴f（x）既是奇函数又是偶函数

小结：

（1）判断函数奇偶性的常用方法（定义法，图象法，性质法）；

（2）考察奇偶性，定义域要先行；

（3）函数奇偶性有四种结果（即非奇非偶函数，奇函数，偶函数，既奇又偶函数），任一函数必居其一；

（4）既奇又偶函数必为f（x）=0（从对称性考虑）

（5）f（-x）=- f（x）

f（-x）+f（x）=0

（f（x）≠0）稍作变形，可优化解题过程。

变式思考：

对第（3）小题，若改作：已知f（x）（x≠0）为偶函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x+3，求当x＜0时，f（x）的解析式。

（大家不妨一试，从中你能得到什么启发？）

例2，（1）已知函数f（x）的定义域关于原点对称，试判断下列函数的奇偶性；

121②G（x）=[ f（x）- f（-x）] 2f(x)=-1f(x)①F（x）=[ f（x）+ f（-x）] （2）已知y= f（x）（x∈R且x≠0）对任意的非零实数x1，x2，恒有f（x1x2）= f（x1）+ f（x2），试判断f（x）的奇偶性。

分析：

（1）对于问题（1）利用定义法，易得F（x）为偶函数，G （x）为奇函数。

（2）问题（2）是由抽象函数的奇偶性判定，定义法是解决此类问题的最佳策略，关键是要得到f（-x）与f（x）的关系，怎么办？（巧赋值，用性质）。

解：（1）略

（2）；；令x1=-1，x2= x，则f（-x）= f（-1）+ f（x）

4

令x1=1，x2=-1，则f（-1）= f（1）+ f（-1）即f（1）=0

令x1= x2=-1，则f（1）= f（-1）+ f（-1）即f（-1）=0 ∴f（-x）= f（x）

故f（x）为偶函数

思考：（1）问题（1）中F（x）+ G（x）=？从中你能总结出怎样的规律？

（2）抽象函数奇偶性的判定方法及技巧是什么？

总结：

（1）任一定义域关于原点对称的函数均可以表示成一奇一偶两个函数的和。

（2）抽象函数奇偶性

方法：定义法

技巧：巧赋值，用性质

例3：已知f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）

（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围

分析：（1）含参问题，可分类讨论；（2）已知单调性，求参数范围，是逆向思维问题，常转化为恒成立问题解决。

解：（1）当a=0时，f（x）=x2对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2

=x2= f（x）

∴f（x）为偶函数

当a≠0时，f（x）=x2+

取x=±1，∵f（-1）+ f（1）=2

（特殊值）

f（-1）- f（1）=-2a≠0 ∴f（-1）≠- f（1）且f（-1）≠f（1）

∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。

（2）∵f（x）=x2+

∴f‘（x）=2x-a

x2axaxax欲使f（x）在[2，+∞）上为增函数，只需f‘（x）≥0在[2，+∞）恒成立。

即2x-a≥0 2x∵x∈[2，+∞）

5

∴a≤2x3

全U（x）=2x3，则U（x）在[2，+∞）上为增函数

∴U（x）min=U（2）=2×23=16 ∴a≤16 即a的取值范围为（-∞，16] 思考：

请大家归纳本例所涉及的数学思想？

小结：

（1）分类讨论思想

（2）化归思想

七、课堂小结

1、奇、偶函数的概念及相关性质

2、函数奇偶性的判定

奇函数

f（-x）=- f（x）

f（x）的图象关于原点对称

f（-x）+ f（x）=0 f(-)x=1 （f（x）≠0）

f(x)偶函数

f（-x）= f（x）

f（x）的图象关于y轴对称

f（x）= f（|x|）

f（-x）- f（x）=0 f(-)x=1（f（x）≠0）

f(x)3、一些常用的数学思想方法

（1）思想：数形结合、分类讨论、化归。

（2）方法：定义法、图象法、特值法、赋值法

八、巩固练习

见课时作业6（略）

6

附：板书设计：

函数的奇偶性

偶函数

f（-x）= f（x）

函数图象关于y轴对称

f（x）= f（|x|）

奇函数

f（-x）= -f（x）

函数图象关于原点对称

f（0）=0 例1：…………

例2：…………

例3：…………

…………

…………

…………

…………

…………

…………

小结：（1）定义法、图象法

注：（1）……

思想：分类讨论

（2）定义域优先

f（x）= F（x）+ G（x）

化归

（3）四种结果

（2）巧赋值，用性质

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