阅读与思考 集合中元素的个数优秀教学设计内容

高中数学原始概念

原始概念是人们在长期的实践活动中，对一类事物概括、抽象出来的、公认的、正确的结果。原始概念表现为教材中的公理或不做严格定义的初始概念等,这些概念一类是以实物为原形,是对实体的抽象，如几何中的点、直线、平面；另一类则是以包摄程度最高的概念作为原始概念，如集合与对应的概念,它们是对各种数学结构的共性经过高度抽象后的产物。换句话说，原始概念是建立在公理基础之上的不加定义的概念。原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特征给予形象的描述。尽管原始概念“无定义”，但它并不是“无意义”。

否则，便就不能使用它来解释在它之后的所有未知概念了。原始概念的意义，一般采取以下几种方法予以明确．

1.描述例举法

借用日常概念或其它的巳知概念，形象地描述其特征，举例说明其存在，是中学数学明确无定义概念所惯用的基本方法。

例如，关于无定义概念“几何体”(简称“体”)的特征，现行教材是这样从现实存在中揭示出来并予以描述的：

在我们周围有各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。如果我们只考．．虑这些物体的形状、大小，而不考虑其他因素，我们就说它是几何体。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2.公理辅助法

原始概念表现为教材中的公理或不做严格定义的初始概念它们是以实物为原形,是对实体的抽象。通过揭示原始概念的公理，让学生从公理中细细琢磨体会概念意义，加深对原始概念的认识，也是十分有效的，这种的方法，就是公理辅助法。

3.循环注释法

每一自成系统的知识领域，都有自己起码数量的原始无定义概念，讲解某个领域的知识自然要遵守逻辑顺序，先讲什么后讲什么不可随意颠倒。但对相对独立的两个以上的知识领域来说，有时候，先讲或后讲哪个领域的知识，往往没有限制的必要。在这种情况下，运用学生已知的有关知识系统的某些概念，或者类比学生已知的有关知识，来解释另一个未知知识系统的原始无定义概念，也能达到明确该原始元定义概念的目的，甚至会获得良好的教学效果。这种方法很象词

典注释词义时所使用的“互相解释”法，故称循环解释法。比如，集合的包含关系，可以类比“不等式中的数的大小关系”，也可借鉴“几何中的，部分小于整体”的基本思路，有助于学生对“集合的包含关系”的理解。

第一部分 《集合的含义与表示》说课

一、教学内容的分析

1．地位和作用 “集合的含义与表示”是人教A版必修1第一章集合与函数的概念中1.1集合的第一课时，主要包含集合的含义与集合的表示两个内容. 集合是近现代数学最基本的内容之一，关于无穷集合和超穷数的数学理论成为集合论，是近现代数学的重要基础，是整个数学大厦的基石.集合论在数学中占有一个独特的位置，它的基本概念已渗透到数学的所有领域.一方面许多重要的数学分支，如微积分、函数论等都建立在集合论的基础上，另一方面集合论及其所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到了应用. 集合是数学的基础，也是中学数学的重要内容.中学中研究的各种对象都可以看作集合，如数——数集，几何图象——点集，大于、小于、等于、平行、垂直等关系，函数——点集（图象）等. 2．内容解析 明确了集合是什么，才能对集合概念教学作出正确的定位. 有关集合的数学理论源于19世纪末德国著名的数学家格奥尔格·康托创立的集合论，距今已有100多年的历史. 集合论发展阶段一：17世纪牛顿和莱布尼茨创立了微积分理论，该新领域的出现推动了数学学科的快速发展，但对微积分逻辑理论基础的建立一直处于混乱和自相矛盾之中，原因之一则是对无穷概念没有精确的定义.“为寻求微积分彻底严密的算术化倾向”，成了集合论产生的重要原因. 集合论发展阶段二：康托试图解决任意函数的三角级数的表达式是唯一的问题，为其创造集合论创造了条件；在研究无穷集合能够与它的部分构成一一对应关系的性质，则标志着集合论的诞生.

集合论发展阶段三：在集合论得到公认的同时，罗素悖论的出现则使数学陷入了矛盾之中，因而出现了数学史上的第三次数学危机.之后公理化集合理论的出现弥补了此前集合论中的逻辑空缺.从此集合论从朴素集合论过渡到了公理化集合论阶段. 然而，在中学数学中所学习的只是集合论中最基础的知识，在《数学教育学》一书中，斯托利亚这样表述：“集合论概念”这个术语在这里指的是朴素集合论的最简单概念，它是在“类的逻辑”的名称下首先发展起来的. 可见，“类的对象”具体准确地揭示了集合的本质，对“类”的对象的研究和刻画也成为中学集合问题研究的出发点和归宿. 3．教学的重点和难点

集合概念应当在数学教学中对于数学和逻辑概念的形成起到基础概念的作用，集合概念的教学应该定位于“怎么将各种‘类’的对象进行数学表示或刻画”. 首先，集合是关于“类”的概念，从认识论角度上看，集合可视为描述人脑对客观事物进行识别和分类的一种抽象方法.中学数学中教集合就应该让学生认识到用集合进行分类的功能，不仅数、点、形，世界的各种事物无不可以按某种属性或关系的比较加以类聚. 其次，集合是一种语言，是一种特殊的符号语言，借用集合语言可以表示对象、表示不同对象之间的关系、表示生成对象的过程等，应该让学生学会使用集合语言简洁准确地进行“数学的表述”和“数学地建构”.会对常见的集合进行简洁、明确的表示. 第三，集合又是一种思想方法，运用集合思想可以广泛认识数学各个分支中研究的问题，如交集的思想与曲线交点和方程组解的关系，补集的思想与正难则反的关系，需要在后续学习中不断渗透. 第四，集合代数与演绎逻辑关系紧密，集合语言可看成相应逻辑关系的表示.如包含关系可以用子集语言表示，常用逻辑用语中的“充分必要条件”可以用集合观点描述等，集合观念有助于对一些数学推理的理解. 集合是集合论中原始的、不加定义的概念.在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识.教材给出“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.”这句话，只是对集合概念的描述性说明.

本节教学中，以学生已有的生活经验和知识基础为生长点，引导学生自主构建概念的本质特征. 本节课的重点和难点为

教学重点：集合的基本概念与表示法；

教学难点：理解集合中元素的确定性和用描述法表示集合. 二、学情分析：

1.学生知识结构分析

集合是一个原始概念，不能用其他数学概念来加以严格定义，而只能用自然语言给予描述和解释，因而它具有高度的抽象性，学生很难对其真正理解和掌握，集合论的应用更是学生学习的难点.中小学数学教材为了解决这些问题，把集合论的知识分成了三个阶段.小学阶段：主要在教材中渗透集合的思想方法，用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识，从中体会集合思想方法的作用.如，小学在讲数的加法时就用了集合的并集思想，在讲数的减法时就用了集合的差集思想，而在讲两数的最小公倍数和最大公约数时则用了集合的交集思想；初中阶段：在小学对集合的思想方法有了一定的感性认识和应用的基础上，教材进一步向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念，但不涉及集合的意义，让学生接触一些具体的集合.如，在初中代数中向学生介绍了“自然数的集合”、“有理数的集合”、“不等式解的集合”等，在平面几何中讲圆的概念和线段的垂直平分线的概念时，都是用集合来定义；高中阶段：教材在小学和初中的基础上让学生系统地学习集合论的初步知识.这种螺旋式上升的处理方式既考虑了各个阶段学生的年龄特点和心理特征，又考虑了学生的认知水平和认知能力，对于学生理解和掌握集合内容是很有好处的. 2、心理基础。

优势：对于刚升入高中的学生来说,基础知识相对扎实,具备一定的逻辑思维能力，具有较强的求知欲. 不足：从认知情况来看,对于生活实例,他们的感性大于理性,抽象概括能力较弱；同时，在初中，学生对概念大都采用“背概念、做题”的学习模式，而对概念的形成过程不重视，这是两者都是对该节教学不利的心理因素.

三、教学目标的确定

集合的本质是“类的对象”，对研究的对象进行适当的“分类”是集合的功能.因而，在教学中，让学生感知集合是关于“类”的概念非常必要.为此我们试着从以下三个方面进行设计. 1、构建集合概念

2、加深概念理解

3、提炼集合特征

四、教学方法的选择

1．教学方法

由于本节课是高中数学的起始课,而且概念较多,所以在教学过程中我决定从身边实例出发,通过老师引导,小组讨论、自主探究等多种方式逐渐培养学生的抽象概括能力;为了达到预期的教学效果,在学法指导方面,使教学过程活动化、学习过程自主化、获取知识的过程体验化,将教学内容转化为学生自主探究的活动过程,体现新课程改革倡导的自主学习的理念. 2．教学手段

教学中使用交互式电子白板辅助教学和实物投影仪。

目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3、教学策略

又由于学生层次的差异，在教学设计上，遵循“低起点，多层次，高要求”的基本思路。在教学过程中，充分用好举例、特别是反例，以此解决学生，阐释学生的疑惑。

五、

教学过程的设计

（一）构建集合概念

概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解。

（1）多媒体展示画面：农园中大片的苹果树、桃树；天空中飞翔过的雁群；池塘中嬉戏的鱼群；西藏牧场上的羊群、牛群等. （设计意图：精美的动态图片给学生以视觉的冲击，从而产生“类”“整体”等直观印象.）

（2）结合生活实例，如：高一（1）班中所有的男生；都江堰中学2015年入学的全体高一学生；2000年到现在获得诺贝尔奖的所有科学家；本学年学生所学到的所有课程；等等.让学生以小组合作的形式讨论其共同特征，从而抽象出集合的本质，形成集合的概念，即“指定的某些对象的全体称为集合”

（设计理念：该环节的意图主要是让学生了解集合与我们的生活、学习息息相关，无处不与集合打交道，从而使学生认识到研究集合的必要性）

【想一想】在初中数学学习中，我们接触了哪些具体的集合？

（作用：“观察与思考”只能让学生对集合有一个模糊的感受———它与图示有关，而学生在初中已经具体接触了一些集合，所以设计该“想一想”有两个意图：一是让学生明白集合并不陌生———初中就有所接触；二是通过对初中所接触的具体集合的列举为后面进一步研究集合做好准备工作.教学时，要引导学生把“自然数的集合”、“有理数的集合”、“某个不等式解的集合”、“到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）”、“到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（线段的垂直平分线）”等说出来，同时教师把相应的集合也写在黑板上，为后面的进一步研究做准备.）

【阅读与举例】请大家阅读教材中所列举的8个例子，它们能组成集合吗？如果能它们的元素分别是什么？

（1）1～20以内的所有素数；

（2）我国从1991年~2003年13年内发射的所有人造卫星；

（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；

（5）所有的正方形；

（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；

（7）方程x23x20的所有实数根；

（8）新华中学2004年9月入学的所有高一学生；

（设计理念：从正面认识集合.）

（二）加深概念理解

（1）个别学生举例，其余学生当评委，不仅能调到全体学生学习的积极性，同时便于促使学生对集合有更清晰的认识，及时把所学到的新知识纳入到学生的认知结构中去. （2）教师提问：20以内的正偶数；我国著名的数学家；我班的高个子男生.是否是集合？后两个问题的设计目的是引起学生的认知冲突. （三）提炼集合特征

特征一：确定性要求.在上面两个问题的争论中，教师让学生再一次的审读概念，对“指定”两字进行解读，学生则深层次理解到集合对属于其中的元素的确定性要求. 特征二：互异性要求.教师给出例子：1，2，3，3，4，5能否构成集合.相同元素3构成认知冲突，此时由小组交流讨论，确定集合元素的唯一性特征. 特征三：无序性要求.教师给出例子：{a,b,c}、{b,a,c}、{c,a,b}是否是相同的集合？由小组讨论，确定集合对其中的元素顺序没有要求. （设计理念：以问题串的形式激发学生的探究兴趣，实现新课标下数学知识的生成性和学生探究的自主性要求的目的.同时，该环节的设置能使学生从高角度审读集合的概念及本质，达到对集合概念的准确把握.）

（四）集合与元素的表示方法：

我们通常用大写拉丁字母 A，B，C，…

表示集合，用小写拉丁字母 a ，b，c，…

表示集合中的元素．

对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？

（五）元素与集合的关系：

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA，读作“a属于A”；

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，

记作aA，读作“a不属于A”. （六）常用数集及其记法:

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）记N；

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N或 N＋；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z; 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为有理数集，记作R. 【例1】 用“”或“”符号填空: （1）0 N;（2）9 Z；（3）2 Q；（4） R *（七）列举描述、恰当选择

（总体设计思路：集合语言是现代数学的基本语言,通过学习使学生学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,在此给出了使用列举法表示集合的具体方法,为了巩固授课效果,在这个知识点后面设计了一道练习题,设计这道题主要是为了培养学生的应用意识,激发学生的求解兴趣,同时还可以突破本节课的教学难点.）

集合的表示方法

1.自然语言法

2.列举法

我们把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内的方法叫做列举法. 注：①元素之间用“，”隔开；②元素不重复不遗漏；

【例2】用列举法表示下列集合：

（1）小于8的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2x的所有实数根组成的集合

（3）由1～20以内的所有素数组成的集合. 【思考1】能否用列举法表示不等式x73的解集？

【思考2】如何用数学式子描述上述集合的元素特征？

xR,且x10

【思考3】上述集合可怎样表示？

DxRx10

（设计理念：通过逐层递进，给出描述法表示集合的方法，引导学生归纳描述法



的特点.）

3.描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 注：（1）弄清集合中代表元素的含义；（2）不能出现未被说明的字母；（3）代表元素的取值从上下文的关系来看，xR,xZ若是明确的xR,xZ,可以省略. （八）实战演练、拓展提升

（总体设计思路：在这里我设计了两道用两种方法表示集合的题目,这样设计首先是想考查学生对列举法、描述法掌握的情况,也希望通过两种表示方法的练习,更好地把握列举法和描述法各自的特点.引导学生讨论应当如何根据实际问题选择恰当的集合表示方法.通过这道题目的练习,既巩固了所学知识点,又培养了学生一题多解灵活运用的数学思维能力.）

【例3】

试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x220的所有实数根组成的集合 （2）由大于3小于10的整数组成的集合

（九）归纳方法、课后延伸

（总体设计思路：在这个环节,首先引导大家对列举法和描述法进行了归纳,指明其特点并让大家根据情况进行恰当选择；小结部分采用学生回忆—归纳—总结的方式把知识点串联起来,对本节课的知识形成系统而全面的认识；在作业布置方面,一道必做题,巩固消化知识；一道选做题,课外拓展延伸,体现了作业的巩固性和发展性原则.我的板书设计简明直观,体现了知识间的内在联系,能让学生更好地把握知识要点.）

【方法总结】

①

使用列举法表示集合，具有直观明了的特点；

②

采用描述法表示集合时，可以表示元素的共同特征. ③

一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，具有直观明了的特点；对于元素较多的集合或者根本就不能一一列举法的集合采用描

述法. 【课堂小结】

1.集合的概念；2.集合中元素的三个特征；3.元素与集合的关系；

4.常用的数集及记法；5.集合的表示方法及适用条件. 【课后作业】

必做题：教材P11 习题1.1 A组 2，3题. 选做题：结合所学知识，举几个集合实例.

第二部分 高中数学原始概念之我见

原始概念，是没有办法用更简单的概念来下定义的概念.它的含义只能用公理来刻画.可以通过各种各样的例子来解析、来描述.中学数学中有许多原始概念，比如“自然数”“集合”“点”“直线”“平面”等等.原始概念在数学上有着非常重要的意义，它们“不仅满足了人们在建立数学理论时必须有个出发点的需要，以此避免导致恶性循环或无穷倒退的窘境之中”，同时还“能使人们的思想从狭隘的概念内涵意义的束缚中解放出来，从而扩大了人们的视野和想象力，有可能发展出新的数学理论来”. 数学史上怎么将集合作为原始概念，而不对它下定义呢？

集合论是德国数学家格奥尔格·康托首先总结出来的数学分支.集合论的初期研究，都是建立在康托给集合下的定义的基础之上，并且取得了很大成果.但是随着数学的不断发展，证明了给集合下定义的办法，是站不住脚的，在某些情况下，甚至会引出矛盾. 英国数学家罗素在1902年注意这点.他指出，集合可以分为两种类型：

第一种类型的集合：集合本身不是它自己的元素（即MM）.通常碰到的集合，都是这种类型.如M{1,2,3}，则M{1,2,3}. 第二种类型的集合：集合本身是它自己的元素（即MM）.如，用少于50

个中文字来定义的集合.所有这种集合的全体作为的集合M.因为M也是少于50个中文字来定义的集合.所以M是它自己的元素，即MM. 集合不是第一种类型，就是第二种类型.两种类型的集合，彼此可以明确识别.由第一种类型的集合的全体作为一集合A：

A{M|M是第一种类型的集合，即MM}. 现在提出这样的问题：问A是哪种类型的集合？

若AA，则由A的定义，有AA，这是矛盾；

若AA，则由A的定义，有AA，这又是矛盾. 这样，由集合的定义出发，不管A是第一种类型的集合或是第二种类型的集合，都必会导出矛盾.这个就是有名的罗素悖论，也就是我们常说的“理发师悖论”

德国数学家策梅洛把集合、元素、属于等作为原始概念，用公里系统的方法，建立了公理集合论.在公理集合论中，把集合、元素、属于均作为不加定义的原始概念，并且引入一些公理.如：两个集合是相等的，当且仅当，它们有相同的元素（外延公理）.利用这些公理就能证明，在公理集合论中，罗素悖论就不会发生. 又如平面的概念

公元前5世纪，古希腊哲学家巴门尼德对于平面的观点是：平面是直线在其中可以以任意方向与其相合的表面. 公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出平面的定义：平面是它上面的线一样地平放着的面. 上述定义语义较为含糊，而且平面的存在性也有待通过构造的方式予以说明. 公元1世纪，古希腊数学家海伦给出平面的定义：平面式直线与之完全相合的表面.如果一条直线经过表面上的两个点，那么这条直线的任意部位都和这个表面完全相和. 公元17世纪，德国数学家莱布尼茨给平面新的定义：平面式到两个已知点距离相等的点集. 公元19世纪，德国数学家高斯给平面定义：过直线上一定点并与这条直线垂

直的所有直线的表面. 19世纪末，几何学有了飞跃性的发展，德国数学家希尔伯特发表了他的名著《几何基础》.在这本经典著作中，他把“点”“直线”“平面”作为基本对象不加定义，这三个基本对象与五个基本关系统称为基本概念.这些基本概念受五组、共20条公理的制约.除了这八个基本概念以为的任何几何对象、名词、术语、关系等等，都必须加以严格定义. 在希尔伯特之前，人们主要从直观经验（先是局限于二维平面内而后是在三维空间中）来探究平面概念的本质，并试图在三维空间中构造出平面来；希尔伯特之后，人们普遍接受了平面概念的逻辑本质，自此“平面”不再是需要定义的孤立的数学对象，它的全部意义存在于一组具有逻辑一致性的公理体系中. 可以看出，这些原始概念是数学各个分支的逻辑基础，这些分支中的公理对其性质进行表述.如认识平面的“平”，可由教科书中的公理1：“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”来刻画；如认识平面的客观存在，可由公理2：“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”来刻画；如认识平面的无限延展性，可由公理3：“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”来刻画. 学生学习数学概念时，总是从他们原有的认知结构出发，去认知、理解和区分事物的各种关系和性质.就概念形成而言，一般来说分为起始性和发展性的概念.起始性的概念指的是没有旧概念作基础的原始概念，主要就是凭借着事物的具体形象和表象进行抽象概括.学生学习原始概念，如果没有一类事物的知识和经验，那么久不可能从中抽象概括出本质属性.就需要教师引入概念的时候必须进行必要的铺垫.在教学原始概念的过程中，一般采用直观说明或者指明对象的方法来帮助学生明确概念.教师在教学时的关键在于给学生提供形象，从而建立完整的表象.