阅读与思考 集合中元素的个数课堂实录及点评

§1.1

集合

教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课

型：新授课

教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：集合的基本概念与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

教学过程：

一、

引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容

- 1 -

二、

新课教学

（一）集合的有关概念

1.

集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.

一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.

思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.

关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

5.

元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A

- 2 -

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）

A，记作aA（或a

A）（举例）

6.

常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1）

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

例1．（课本例1）

思考2，引入描述法

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

（2）

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

- 3 -

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；

例2．（课本例2）

说明：（课本P5最后一段）

思考3：（课本P6思考）

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x2+3x+2}与

{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（三）课堂练习（课本P6练习）

三、

归纳小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

四、

作业布置

书面作业：习题1.1，第1- 4题

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学习目标

1.了解集合与元素的含义.

2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.

3.理解集合与元素的关系.

4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.

问题导学

题型探究

达标检测

1.问题导学

(1)集合：一般地，

C，D，…标记.

(2)元素：集合中的

叫作这个集合的元素.常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素.

思考

1是整数吗？

是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案

1是整数；

不是整数；没有

梳理

元素与集合的关系有且只有两种，分别

称为集合.集合常用大写字母A，B，为

、

，数学符号分别为

、

.

思考1

某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.

- 5 -

元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A，那么任何一个对象a是不是这个集合中的元素就确定了.

思考2

构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？

答案

2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性

思考3

“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？

答案

两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的. 由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.

梳理

元素的三个特性是指

[思考辨析

判断正误]

1.y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(

)

2.0∈N但0∉N＋.(

)

3.由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(

)

2.题型探究

例1

考察下列每组对象能否构成一个集合.

(1)不超过20的非负数

解

对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，

所以能构成集合.

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

、

、

- 6 -

解

能构成集合

(3)某班的所有高个子同学；

解

“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合.

(4)

3

的近似值的全体.

解

“

3

的近似值”不明确精确到什么程度，

因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.

反思与感悟

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.

跟踪训练1

下列各组对象可以组成集合的是

A.数学必修1课本中所有的难题

B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点

D.所有小的正数

解析

A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；

B能构成集合；

C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；

D中没有明确的标准，所以不能构成集合.

命题角度1

判定元素与集合的关系

例2

给出下列关系：

- 7 -

1①2∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个

数为

A.1

答案B B.2

C.3

D.4

反思与感悟

要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.

跟踪训练2

用符号

“∈”或“∉”填空.

－

______R；－3______Q；－1______N；π______Z.

2跟踪训练3

已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则

A.a>－4

B.a≤－2

D.－4

解析

∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.

又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，

∴－4

例3

已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.

(1)若－3∈A，求a的值；

解

由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

- 8 -

当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.

经检验，0与－1都符合要求.

∴a＝0或－1.

(2)若x2∈B，求实数x的值；

解

当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.

(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.

解

显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0.

若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同.

155若2a－1＝0，则a＝2，A包含的元素为0，－2，4，与集合B中元素不相同. 故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同

反思与感悟

元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等.

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.

b跟踪训练4

已知集合M中含有三个元素：a，a

，1，集合N中含有三个元素：a2，a＋b,0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值.

解

∵集合M与集合N中元素相同.

- 9 -

b2a＋＋1＝a＋a＋b＋0，ab2a··1＝a·a＋b·0，a

a＝1，a＝－1，解得或

b＝0b＝0.

由集合中元素的互异性，得a≠1，

∴a＝－1，b＝0.

达标检测

1.下列给出的对象中，能组成集合的是

A.一切很大的数

B.好心人

C.漂亮的小女孩

D.方程x2－1＝0的实数根

答案D 2.下面说法正确的是

A.所有在N中的元素都在N＋中

B.所有不在N＋中的数都在Z中

C.所有不在Q中的实数都在R中

D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

答案C 3.由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

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答案C 4.下列结论不正确的是

A.0∈N

B.

∈Q

C.0∉Q

答案C 5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为

A.2

B.3

D.0,2,3均可

D.－1∈Z

C.0或3

解析

由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，

这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.

规律与方法

1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体.如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合.

2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A. 3.集合中元素的三个特性

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的

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总体是否构成集合.

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.

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反思与感悟

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的.

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.

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