2.1.1 函数的概念和图象教学评价实录

适用学科

适用区域

知识点

高中数学

苏教版区域

适用年级

课时时长（分钟）

高一

2课时

函数的概念，函数的三要素（定义域、值域、对应法则），区间的意义及表示

函数的表示法：解析法、列表法、图象法

分段函数及其应用，映射的概念

教学目标

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；

2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

教学重点

教学难点

运用函数图象理解和研究函数的性质。

运用函数图象理解和研究函数的性质。

【知识导图】

教学过程

一、导入

函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，在未来的高考中可以说得函数者得天下。对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。

1．下列各组函数中，表示同一函数的是(

) A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2

B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2

x2－1C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 x－1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1

二、知识讲解

1

函数的基本概念

考点(1)函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

考点2

映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

考点3

函数解析式的求解

三

、例题精析

类型一

判断函数

例题1

例1有以下判断：

1

x≥0|x|①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

x－1

x<0②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；

1＝0. ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2其中正确判断的序号是________．

【规范解答】对于①，由于函数f(x)＝x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，

1

x≥0而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是－1

x<0y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和111f1＝f(0)＝1. －1－g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝＝0，所以f2222综上可知，正确的判断是②③.

|x|

【总结与反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．

类型二

函数解析式

1x(1)如果f()＝，则当x≠0且x≠1时，则f(x)＝________. x1－x(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·x－1，则f(x)＝________. x

例题1

【规范解答】(1)令t＝x，得x＝t，∴f(t)＝111t11－t＝11，∴f(x)＝. t－1x－1(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

a＝2，a＝2，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴解得∴f(x)＝2x＋b＋5a＝17，b＝7，7. 1111(3)在f(x)＝2f()x－1中，用代替x，得f()＝2f(x)－1，

xxxx12fx121将f()＝－1代入f(x)＝2f()x－1中，可求得f(x)＝x＋. xx33x

【总结与反思】函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

1(4)消去法：已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

类型三

函数定义域

(1)求函数fx

f2x(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．

x－10x11x例题1

的定义域. 【规范解答】(1)要使函数有意义，则需有所以原函数的定义域为1,0

f2x(2)要使函数g(x)＝有意义，

x－10x1≥0x0，解得x1,00,+，

0,+.

1≤2x≤2则必须有，

x－1≠011∴≤x<1，故函数g(x)的定义域为[，1)．

22

【总结与反思】

(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．

(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]

类型四

分段函数

x2，x>0，(1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________．

x＋1，x≤0，例题1

fx，fx≤M，(2)设函数y＝f(x)在R上有定义．对于给定的正数M，定义函数fM(x) ＝M，fx>M，

则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为________．

【规范解答】(1)由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0. ①当a>0时，f(a)＝2，

2a＋2＝0无解；

②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3. (2)由题设f(x)＝2－x2≤1，得当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2；

当－1

论．

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．

四

、课堂运用

基础

1.试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=（2）f（x）=x2，g（x）=3，g（x）=1x3；

x0,x0;|x|x1

2.求函数定义域：fx1x3x2x4x2x322

3.求函数定义域：fx

答案与解析

1.解：（1）由于f（x）=所以它们不是同一函数；

（2）由于函数f（x）=|x|x

x2=|x|，g（x）=3x3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=11x0,x0;的定义域为R，所以它们不是同一函数；

2.【答案】x,12,

2【解析】x3x20，解得x2orx1

3.【答案】x4,11,33,

x40【解析】2解得x4,11,33,

x2x30

巩固

1.

试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=2n1（2）f（x）=xx2n1，g（x）=（2n1x）2n1（n∈N*）；

－x1，g（x）=x2x；

（3）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

2. 设函数f(x)x3f[f(x5)](x100)(x100),求f(89).

3.已知函数fx定义域为(0，2)，求函数f(x)23的定义域：

答案与解析

1.（1）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，

∴f（x）=2n1x2n12=x，g（x）=（2n1x）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，－所以它们是同一由于函数f（x）=xx1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2x的为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；

（3）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。

2.这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，

f(89)f(f(94))f(f(f(99)))f(f(f(f(104))))f(f(f(101)))

=f(f(98))f(f(f(103)))f(f(100))f(97)f(f(102))f(99)

=f(f(104))f(101)98.

3.

由0

1.函数yf(x)的图象与直线x

1的公共点数目是________．

x22得2x2且x0，所以f(x)2得定义域为(2,0)(0,2)

拔高

2．已知x2(x1),2f(x)x(1x2),若f(x)32x(x2),，则x的值为________．

3.下列四个命题：(1)f(x)x21x有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)2x,x0函数y2x(xN)的图象是一条直线；(4)函数y，的图象是抛物线．其中正2x,x0确的命题个数为________．

答案与解析

1．0或1 解析

有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．

2.3

解析

该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)2＝x＝3，x＝±3，而－1

3．1 解析

(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．

五

、课堂小结

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．

3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．求分段函数应注意的问题：

在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

六

、课后作业

基础

1.求函数定义域

（1）fxx3x1； （2）fx2x10xx； （3）fx9x1x1；2.已知函数fxx,x＞0，试计算ffx2,x≤05的值. 3.已知一次函数fx满足3f1x2f1x5x3，试确定函数fx的解析式.

答案与解析

1.（1）x3,1 （2）x,0 （3）x1,9

2.【答案】1 【解析】f5f11

3.【解析】解：因为fx是一次函数，不妨设fxkxbk0，则

3k1xb2k1xb5x3，化简可得5kxkb5x3，

5k5k1即有，解得，

kb3b2所以函数fx的解析式为fxx2.

综上，m1.

巩固

1.已知函数f2x1的定义域为0,1，则函数fx2的定义域为___________. 2x,x＞02.已知函数fx，若fx1,x≤0af10，则实数a的值是多少？

23.已知函数fx满足2fxfx2x1xx0，试确定函数fx的解析式.

答案与解析

1.【答案】x1,1

【解析】x0,1,2x11,3，x21,3,x1,1

2.【答案】a3

【解析】

f12,fa2,a12,a3

3.【解析】因为2fxfx2x 所以有2fxfx2x2221x..........①

1x........②

3x①2②，可得3fx2x，

23x2所以函数fx的解析式为fx

拔高

1x. 1.已知函数fx

mx2mxm2的定义域为R，试确定实数m的取值范围. 2,＜x12xa2．已知实数a0，函数fx，若f1af1a，则x2a,x≥1a___________.

3．已知定义在R上的函数fx满足fx1fx.当x0,1时，fxx.试求解函数fx在区间1,2上的解析式.

答案与解析



1.【答案】m0，m0【解析】根据题意m0时符合题意，当m0时，

2(2m)4mm202

解得m0，所以综上m0，2.-34

32【解析】当a0时，1a1,1a1,21aa1a2a解得a当a0时，1a1,1a11a2a22aa解得a34，舍去

3.【解析】

因为fx1fx，所以有fxfx1，设x1,2，则有

x10,1，

所以fxfx1x1,x1,2，即函数fx在区间1,2上的解析式为f2xx1. 2