阅读与思考 集合中元素的个数课件配套优秀

集合中元素个数的探究及应用

【教材位置】

必修1《集合》第13—14页. 【基础知识】

学习集合的子交并补运算，及其符号表示、Venn图表示. 【教学目标】

1、了解集合元素个数的表示法；

2、理解两（三）个元素集合的交、并集的元素个数的求法；

3、会求两（三）个元素集合的交、并集的元素个数；

4、了解Venn图在集合中的作用，并会用Venn图分析集合问题；

5、了解有限集与无限集元素个数的区别. 【教学过程】

一、有限集元素个数记法

把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数(card是英文cardicardal(基数)的缩写，有的教材如记作n(A)）.例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3.

二、问题引入

学校小卖部进了两次货，第一次进的货是铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便面、矿泉水共6种，第二次进的货是铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？

分析：用集合的角度考虑问题.记第一次进货的品种为集合A，第二次进货的品种为集合B. 则A={铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便面、矿泉水}，

B={铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便面}. 这里card(A)=6，card(B)=4. 求两次一共进了几种货？指的是card(A∪B) .而两次进货里有同的品种，相同品种个数实际就是card(A∩B). 因此card(A∪B)=8，card(A∩B)=2.

三、结论的探究与证明

探究一：两个有限集合的并集中元素个数问题. 若A∩B=Φ，显然有card(A∪B)=card(A)+card(B)；

若A∩B≠Φ，利用Venn图表示如图1，

card(A∪B)与card(A)+card(B)相比，

后者比前者多了二者的公共部分（即

card(A∩B)），由此我们可得

结论1：已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B) =card(A)+ card(B) -card(A∩B).

探究二：三个集合的并集中元素的个数问题. 为了便于说清楚问题，我们考虑A∩B≠Φ、C∩B≠Φ、A∩C≠Φ、A∩B∩C≠Φ的情况，利用维恩图表示如图2,

相对card(A∪B∪C)来说card(A)+card(B)+card(C)的数目中多计了a,c,d一次，b两次，由此建立等量关系式：

a=card(A∩B)-card(A∩B∩C),

c=card(B∩C)-card(A∩B∩C),

d=card(A∩C)-card(A∩B∩C)

故card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C) -［card(A∩B)-card(A∩B∩C)］

-［card(B∩C)-card(A∩B∩C)］

-［card(A∩C)-card(A∩B∩C)］

-2card(A∩B∩C)

整理得,card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)，由此我们可得

结论2：已知三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)= card(A)+card(B)+ card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).

四、应用举例

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card(A), card(B), card(A∩B)是已知的，于是可以根据上面的公式求出card(A∪B). 解：设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，

A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生} 因此card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛. 例2某校对68名学生去游览A、B、C三个公园的情况进行调查，统计结果如下：

（1）每个人至少去过A、B、C三个公园中的一个；

（2）到过A和B，B和C，C和A两个公园的人数分别为25人，21人，19人；

（3）到过A或B，B或C，C或A公园的人数分别为60人，59人，56人. 试问，这些学生到过A、B、C公园的人数分别各为多少？三个公园都到过的学生有多少？

分析：本题是关于集合中元素个数公式的运用的一个题目，主要是考察学生对集合中元素个数的理解与两个集合与它们交，并这四个集合间的元素个数公式的运用.对于第二问应该要从题目各个条件的分析中找到答案. 解：设A={去过A公园游览的学生}；B={去过B公园游览的学生}；

C={去过C公园游览的学生}；A∪B={去过A或B公园游览的学生}；

B∪C={去过B或C公园游览的学生}；C∪A={去过C或A公园游览的学生} A∪B∪C={去过A，或B或C公园游览的学生}；

A∩B={既去过A也去过B公园游览的学生}

B∩C={既去过B也去过C公园游览的学生} C∩A={既去过C也去过A公园游览的学生} A∩B∩C={三个公园都去游览过的学生} 由题意card(A∪B∪C)=68；card(A∩B)=25；card(B∩C)=21；

card(C∩A)=19；card(A∪B)=60,card(B∪C)=59,card(C∪A)=56 （1）由公式：card(A)+card(B)=card(A∩B)+card(A∪B) card(B)+card(C)=card(B∩C)+card(B∪C) card(C)+card(A)=card(C∩A)+card(C∪A) 得：card(A)+card(B)=85……①

card(B)+card(C)=80……②

card(C)+card(A)=75……③

由①②③得card(A)=40，card(B)=45，card(C)=35. （2）由公式card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C) 得68=40+45+35-25-21-19+card(A∩B∩C)，

所以，card(A∩B∩C)=13

答：学生到过A、B、C公园的人数分别为40人、45人、35人，三个公园都到过的学生有13人.

五、无限集中的元素个数

思考：“有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，如：A={1,2,3,4,…，n，…｝，B={2，4，6，8，…，2n，…}，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少。你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”

等势的定义：设A，B为两个集合，若在A，B之间存在着一一对应的关系：Y：A→B（即集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应），则称A与B是对等的，记作：A～B，也称集合A，B等势(Equipotent) ．康托尔也提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，即称为等势．

有点像函数中的一一对应．

那么由“等势”的概念，集合A={1,2,3,4,…，n，…｝与集合B={2，4，6，8，…，2n，…}，是可以找到一个一一对应的，集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应，所以两个集合中的元素个数是相同的，即等势．

任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系，对于无穷集这—点就不成立了．从而表面上看，有限集和无限集只是数量上的差别，但是却从“量变”引起了“质变”．因此，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集．无限集合有许多有限集合所没有的特征，而有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改．

六、课后练习

1.某班的54名学生对美术选修专题《素描》和《速写》的选择情况如下（每

位学生至少选1个专题）：两个专题都选的有6人，选《速写》的学生数比选《素描》的多8人，则只选修了《素描》的学生有 人．

解析：根据已知条件设选修专题《素描》的学生为x，结合Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B），构造关于x的方程，解出x值后，进而可得只选修了《素描》的学生人数．

解：设A={选修专题《素描》的学生}，B={选修专题《速写》的学生} ，则A∪B={某班全体学生} 设Card（A）=x，则Card（B）=x+8，Card（A∪B）=54 ， Card（A∩B）=6 ∵Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）

∴54=2x+2 解得x=26

则只选修了《素描》的学生有26-6=20人．

2.已知card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3．若集合X满足A⊆X⊆M，则集合X的个数是 ；若集合Y满足Y⊆M，且A⊄Y，B⊄Y，则集合Y的个数是 ．（用数字作答）

解析：理解子集的含义，根据集合中元素的个数，利用子集个数的确定方法即可得到结论．

解：∵card（M）=10，card（A）=2，集合X满足A⊆X⊆M ∴当A=X时有一种；A≠X时有28-1种，相加即256；

∵集合Y满足Y⊆M，且A⊄Y，B⊄Y，card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3 ∴集合Y的个数是25-1=31种．