实验与探究 设计跑道优质课教案

课题名称

:24.4弧长、扇形面积（第一课时）

一、

教

学

目

标

1、

知识技能：

理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积。

2、数学思考：

经历弧长和扇形面积公式的推导过程，发现弧长与圆周长、扇

形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系。

3、问题解决：

在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，能将计算弧长和扇

形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数

学思想。

4、情感

态度：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯。

二、教学重点与难点

重点：弧长和扇形面积公式的推导与运用。

难点：推导弧长和扇形面积公式的过程。

三、教学过程

（一）、结合实际，感受数学

通过视频介绍风景秀丽的俄贤苗乡及其相关建筑发现身边的数学知识：可以发现，大水车的外圈是一个以O为圆心，OA为半径的圆，6条轴（直径）把这个圆平均分成了12等分。

提出思考，从而引入课题：

如图，若这个圆的直径为4米，A，B两点分别表示其中的两条轴的端点。

（1）如何求AB的长度？

（2）如何求AB与半径OA、OB所围成图形的面积？

师生活动：面对这样的问题，学生能够通过复习以及以往的知识初步感知弧长与弧所对的圆心角、圆的半径相关，并能产生探究的想法与兴趣。

设计意图：回顾相关知识，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备。

（二）、理解概念、掌握公式

提炼数学知识，推导弧长公式。

引入课题后，及时提炼数学知识：弧是圆的一部

分，弧长就是圆周长的一部分，在半径为R的圆中，

3600的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR。

（1）10的圆心角所对的弧长是：l1R2R；

36018060R2R；

3603（2）600的圆心角所对的弧长是：l（3）nº的圆心角所对的弧长是：ln3602RnR180；

师生活动：教师通过出示不同的图片，引导学生回答3个追问，逐步推导弧长公式，并明确公式中

n 表示

1°的圆心角的倍数，它不带单位。

设计意图：和学生一起完成弧长公式的推导，可以让学生自主经历公式的推导过程。

（三）、应用公式，服务生活

例1．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．

解：由弧长公式得：

l1009005001570(mm)

180所以展直长度为：L=1570+2700=2970（mm）

师生活动：学生分析题中条件和解题思路：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L，需要知道两条线段长和弧长；线段长已知，弧长所对圆心角和半径也已知，可直接通过弧长公式进行计算，从而得出结论；学生板书，师生共同交流．

设计意图：通过实际问题，加深学生对弧长公式的认识．

变式：若这个弧长为500π

mm的弯形软管部分所对圆心角

∠AOB=120°，请求出半径R的长度．

解：500120R，R=750（mm）

180

练习1：如图，等边△ABC的边长为

1。依次以

A，B，C为圆心，以AC，BC1，CC2为半径画弧(其

中C1，C2，C3分别在边BA，CB，AC 的延长线上)。

试计算曲线C-C1-C2-C3的“展直长度”L。

A

解：由弧长公式得

LD

B

.C

1201120212032464

180180180333师生活动：学生思考，自主发言，要求学生讲清理由．

设计意图：通过辨析弧长公式，让学生加深对公式的理解．

（四）、给出思考，引出概念

思考：图中阴影部分面积总和是_______平

方单位？

给出概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角

所对的弧围成的图形叫做扇形．

类比弧长公式，引导学生自主推导扇形面积公

式：在半径为R的圆中，圆的面积是SR，那么

圆心角为nº的扇形面积是：S2nR2360

逐步完成给出的思考，得出阴影部分面积总和为14。

3再对比弧长公式，要求学生用弧长l的代数式表示扇形的面积：S1lR

2师生活动：教师提出问题，引导学生类比弧长公式推导扇形面积公式，以及对比弧长公式，得出用弧长的代数式表示扇形面积公式。在这个过程中，学生能较快且较准确推导扇形面积公式，教师只需要给出适当的提醒，另外，本环节也初步进行了扇形面积公式的计算。

设计意图：通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导作准备．

例2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水

面高0.3 m．求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．

解：连接OA，OB，作弦AB的垂线OC，垂足为D,连接AC,则AD=BD. ∵OC=0.6，CD=0.3，

∴OD=OC－CD=0.3, ∴OD= CD ∵AD⊥DC,

∴AD是线段OC的垂直平分线，

∴AC=AO=OC.

∴∠AOD=60°,从而∠AOB=120°

S扇形OAB=1200.620.12

360OADCB在Rt⊿AOD中∵OA=0.6,OD=0.3

∴AD=0.33，

∴AB=0.63，S⊿OAB=10.6230.30.093

∴S= S扇形OAB- S⊿OAB≈0.22（m2）

所以截面上有水部分的面积约为0.22m2。师生活动：教师引导学生对例题进行分析：

能否在图中标出截面半径0.6m和水高0.3m？分析截面上有水部分的形状为，如何求这个图形的面积，从而得到：图形面积的计算往往需要通过“割补法”完成，

引导学生添加适当的辅助线，进行解答；注意在求扇形圆心

角时应采用等边三角形的方法．

变式：水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面宽0.63m．那么截面上有水部分的面积为____________m2

(结果保留小位)．

分析并得出： SS扇形-S三角形SS圆-S原弓形S0.62-0.220.91

或SS扇形S三角形S弓形S扇形S三角形

设计意图：结合具体例子介绍弓形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识，同时小结不规则图形的解法：若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决．

练习2：（教科书第113面练习第3小题）如图，

正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，长为

半径作圆。求图中阴影部分的面积。

解：

S阴影SABC3扇形AFEa2

60()213223a2aa221808

师生活动：安排1名学生板书，其它学生在学案

上完成，教师巡视、指导。然后小组交流，并评价。

设计意图：巩固扇形的面积公式。

（五）、课堂小结，回顾提高

a

简要询问解决开篇思考解决方法，初步小结所学知识。

通过给出问题的方式进行课堂小结：

（1）弧长和扇形面积公式是什么？

（2）你是如何得到这两个公式的？可以通过知识之间的转化、类比来获得新知识。

（3）通常可以采用“割补法”求图形面积。 数学日记：学习是一个知识积累的过程，在这个过程中，我们应当注意前后知识的联系、转化与类比等，这样，认识才能不断深化，能力才能不断提高。

设计意图：能过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系和类比、转化的数学思想，以及形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。

（六）、课后探究，提升思维

课后作业1：

教科书习题24.3第2，4题

课后作业2：

见练习册

（七）、板书设计

24.4弧长与扇形面积（1）

在半径为R的圆中， 分析例1及变式

1、nº的圆心角所对的弧长：

lnR180

2、nº的圆心角所对的扇形面积：

分析例2及变式

S扇形nR2360; S扇形1lR

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