正多边形的有关计算优质课一等奖教案

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

24.3 正多边形和圆

广水市城郊街道办事处中心中学

曹利

教学目标

1. 理解正多边形概念和性质，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距．

2. 会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．

教学重点

1. 正多边形的画法．

2. 利用正多边形解决有关问题．

教学难点

对正n边形中泛指“n”的理解．

课时安排

2课时．

1

教师备课系统──多媒体教案

教案A

第1课时

教学内容

24.3 正多边形和圆（1）．

教学目标

1．理解正多边形概念，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距．

2．掌握正五边形的画法．

3．利用正多边形解决有关问题．

教学重点

正五边形的画法．

教学难点

利用正多边形解决有关问题．

教学过程

一、导入新课

同学们思考以下问题：

1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

3．等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？（各边相等、各角相等）．

各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容——正多边形和圆．

二、新课教学

1．正多边形在日常生活中的广泛应用．

日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．

你还能举出一些这样的例子吗？

2．认识正多边形．

如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

问题1：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定2

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

相等．

问题2：圆内接多边形是什么样的多边形？

生答：正多边形．

3．正五边形的画法．

正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．

求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．

证明：∵

＝，

∴

AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝．

∴

∠A＝∠B．

同理

∠B＝∠C＝∠D＝∠E．

又

五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，

∴

五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．

4．正多边形的有关概念．

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）．

6．实例探究．

例

如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

教师引导学生分析、讨论，根据题意，画图，添加补充线，然后解答．具体过程见教材第106页．

三、巩固练习

教材第106页练习2、3．

四、课堂小结

今天学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题24.3 第1、2题．

3

教师备课系统──多媒体教案

第2课时

教学内容

24.3 正多边形和圆（2）．

教学目标

1．理解正多边形的性质．

2．会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．

教学重点

正多边形的画法．

教学难点

对正n边形中泛指“n”的理解．

教学步骤

一、导入新课

实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．

二、新课教学

我们知道，依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形．如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？

教师引导学生充分讨论．

因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等．又n边形的每个内角对圆的(n－2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性．

定理：把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形．

为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看．

我们还可以用圆心角来等分圆周．

由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．例如，画一个边长为1.5 cm的正六边形时，可以以1.5 cm为360半径作一个⊙O，用量角器画一个等于＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆6上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图）．

4

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）．

三、巩固联系

教材第108页练习．

四、课堂小结

今天学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题24.3 第4、6题．

教案B

第1课时

教学内容

24.3 正多边形和圆（1）．

教学目标

1．理解正多边形概念，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距．

2．掌握正五边形的画法．

3．利用正多边形解决有关问题．

教学重点

正五边形的画法．

教学难点

利用正多边形解决有关问题．

教学过程

一、导入新课

日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．

5

教师备课系统──多媒体教案

你还能举出一些这样的例子吗？

通过生活中的实际例子导入新课的教学．

二、新课教学

1．正五边形的画法．

正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．

求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．

证明：∵

＝，

∴

AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝．

∴

∠A＝∠B．

同理

∠B＝∠C＝∠D＝∠E．

又

五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，

∴

五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．

2．正多边形的有关概念．

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）．

3．实例探究．

例

如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

解：如图，连接OB，OC．因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等360于＝60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

6因此，亭子地基的周长

6

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

l＝6×4＝24（m）．

作OP⊥BC，垂足为P，在Rt△OPC中，OC＝4 m，PC＝用勾股定理，可得边心距

r＝4222＝23（m）．

亭子地基的

S＝三、巩固练习

教材第106页练习2、3．

四、课堂小结

今天学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题24.3 第1、2题．

BC4＝＝2（

m），利2211lr＝×24×23≈41.6（m2）．

22第2课时

教学内容

24.3 正多边形和圆（2）．

教学目标

1．理解正多边形的性质．

2．会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．

教学重点

正多边形的画法．

教学难点

对正n边形中泛指“n”的理解．

教学步骤

一、导入新课

复习上节内容，导入新课的教学．

二、新课教学

实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．

1．等分圆周．

由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．

例如，画一个边长为1.5 cm的正六边形时，可以以1.5 cm为半径作一个⊙O

，用

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教师备课系统──多媒体教案

360量角器画一个等于＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧6相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图）．

对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）．

2．实例探究．

用等分圆周的方法画出下列图案．

提示：第1幅图案．以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧．

第2幅图案．以正六边形的各边中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆，就得到这幅图案．

第3幅图案．作5的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条弧．

三、巩固联系

教材第108页练习1．

四、课堂小结

今天学习了什么，有什么收获？

五、布置作业

习题24.3 第4、6题．

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