正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系课件配套优秀

24.3 正多边形和圆（第1课时）

教学目标：

知识与技能目标：

使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系。

过程与方法目标：

通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力。进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

情感与态度目标：

体会事物之间是相互联系的，相互作用的。

教学重点和难点

重点：正多边形概念、正多边形与圆的关系。

难点：对正多边形与圆的关系的探索。

一．课堂导入

观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

二．合作交流

解读探究

1．正多边形的概念

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等。

2．正多边形与圆的关系

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 第

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= = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中，

= = C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形

3.正多边形的有关概念

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

三、应用迁移

问题1 已知：正六边形ABCDEF．

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

ED用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

OC

F问题2 已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

AMB 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

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360=60°，•△OBC是6

因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=11AB=a 22 利用勾股定理，可得边心距

OM=a(a)=2122123a 1133×AB×OM=6××a×a=2222 ∴所求正六边形的面积=6×3a2 四、归纳小结，布置作业

1．小结

学生归纳，总结发言老师点评

本节课应掌握：

1．正多边的有关概念，正多边形与圆的关系

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

3．运用以上的知识解决实际问题．

2．布置作业

书面作业：P108 1、4、6 课堂作业

1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

2．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

3. 等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

答案: 1. C

2. 3a2

43. 设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，

则OM⊥BC于M，OM=3a，

633a，∠EOM=45°，OE=a，

66连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=∵EN=1266a，EF=2EN=a，∴S正方形=a．

6126教学反思

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正多边形和圆的关系体现了图形之间的相互依赖关系，正多边形有外接圆和内切圆，有有内接正多边形和外切正多边形。本节内容在新课程标准中没有体现，这是人教版教材特有的在教学中老师应该把握好难度。本节课的学习将会有助于学生画图能力的提升

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