对顶角、余角和补角PPT及课堂实录内容

第二章

相交线与平行线

1 两条直线的位置关系（第1课时）

成都树德教育集团川化中学 肖 鹃

一、教材分析

针对七年级学生的学情，本节从学生熟悉的、感兴趣的情境出发，引导学生自主提炼归纳出同一平面内两直线的位置关系，了解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用；通过“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程”，发展学生的空间观念及推理能力；能从实际情境中抽象出数学模型，为后续学习“空间与图形”这一数学领域而打下坚实的基础；激发学生从数学的角度认识现实，能够敏锐的发现问题、提出问题，并运用所掌握的数学知识初步解决问题；引导学生在思考、交流、表达的基础上逐步达成有关情感与态度目标. 本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

二、

学情分析

学生在小学已经认识了平行线、相交线、角，在七年级上学期通过“丰富的图形世界”“基本平面图形”两章内容的学习，进一步丰富了对空间图形与平面图形的认识，了解了线段、射线、直线和角及其表示方法，积累了一些初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力和借助图形分析问题解决问题的能力，能够将直观与简单推理相结合；在合作探究的过程中，学生在以前的数学学习中经历了小组合作的学习过程，积累了大量的方法和经验，具备了一定的合作与交流能力，为进一步学习“图形与几何”内容做了有益的准备，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。

但是，这个年龄阶段的学生，抽象思维能力、演绎推理能力及语言表达能力还较弱，需要逐步耐心地培养，不能操之过急，教师要尽可能的创设合理的问题情境，让学生以动手操作带动大脑思考，充分发挥形象思维的优势，同时引导学生从形象思维向抽象思维慢慢地过渡。

三、教学目标

1、了解平面内两条直线的位置关系（相交和平行）。

2、在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念，通过观察、操作、推理、交流等过程，探索并掌握对顶角相等，同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等的性质，并能解决一些实际问题。

3、学生经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、

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推理能力和初步的有条理表达的能力，感悟分类的思想和方法。

4、激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。

四、教学重、难点

重点：理解对顶角、补角、余角的概念及其性质。

难点：对顶角相等、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等的几何表述及应用。

五、教学过程

本课时我遵循“开放”的原则，重组教材，恰当地创设情境，以问题串的方式激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断提出问题、分析问题，并创造性地解决问题；通过动手操作、合作交流等方式，为学生构建了有效开放的学习环境。本节课共设计以下环节：第一环节：操作思考，导入新知；第二环节：观察思考，展开新课；第三环节：探究思考，获取新知；第四环节：学以致用，拓展延伸；第五环节：学有所思，反馈巩固；第六环节：布置作业，能力延伸。

【第一环节】

操作思考，导入新知

1、问题：（1）我们在七年级上学期学习了直线和直线的表示方法，请在纸上画两条直线，并用字母表示。

（2）与同伴交流，你们画的两条直线的位置相同吗？有什么不同？

（3）大家所画的直线的位置关系可以分为几类？（用实物投影展示部分学生所画直线）

图1中直线a、b既不相交又不平行吗？

讲评要点：（1）学生画的两条直线，若只有一种位置关系，教学时要注意引导两条直线的位置，只有这一种关系吗？

（2）若有学生将两条直线位置关系分为三类，则应引导学生复习直线的概念，使他们认识到直线a与b，c与d都是相交直线，从而对平面内两条直线的位置关系作出正确的分类：相交和平行。

活动目的：学生通过自己画图，交流思考，通过发问式的引导学生回答问题，总结出同一平面内两条直线有两种位置关系：相交和平行。

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2、明晰并板书：

在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

3、展示生活中直线相交与平行的图片。

你还能举出生活中有关两条直线相交和平行的例子吗？

活动目的：独立思考、学会思考是创新的核心。数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，进一步加强学生对“相交和平行”的认识。

1、下列说法正确的是（ ）

A. 不相交的两条直线是平行线 B. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线 C. 在同一平面内，两条直线不相交就重合 D. 在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线

【第二环节】

观察思考，展开新课

1、问题：（1）如图，直线AB与直线CD交于点O，图中除了平角以外，还有几个角？分别是哪几个？

（2）若将这些角两两组合，可组成几对角？并观察它们的顶点及角两边的位置关系，可以进行怎样分类？你分类的依据是什么？

讲评要点：（1）图中除了平角以外，还有4个角，分别是∠1、∠2、∠3、∠4。若将这4个角两两组合，可组成6对角。按角的边的位置关系可将这6组角分为两类：一类是有公共顶点，两边互为反向延长线的，即∠1与∠2，∠3与∠4；一类是有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的，即∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4。

（2）分类条件的确定是个难点，可从角的组成因素（顶点和边）入手，教学时要给学生充分的时间观察、思考、讨论、交流，不要急于作出结论。

（3）在分类的基础上，给出对顶角和邻补角的概念。如图，两条直线相交，像∠1与∠2

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或∠3与∠4这样，有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。像∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4这样的角，有公共顶点，一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，我们称这两个角为邻补角。

讲评要点：对角的分类，注意突出“两条直线相交”这个前提。其次，强调对顶角是成对出现的及其表述方式。

2、活动：在你画出的两条相交直线图中，用量角器量出其中一组对顶角的度数，你发现它们的大小关系是怎样的？其它一组对顶角有这样的大小关系吗？与同伴交流你的结论，猜想对顶角的数量关系。能说明猜想的正确性吗？试一试。

明晰并板书：对顶角的性质：对顶角相等。

讲评要点：“对顶角相等”的结论来自于用量角器度量的猜想，而对其正确性的说理，

则是依据等式的性质进行的演绎推理，对学生的表述，不必苛求。

3、问题：图中，∠1与∠3有什么数量关系？还有其它角有这种关系吗？

我们规定：如果两个角的和是1800，那么称这两个角互为补角，简称互补。

如果两个角的和是900，那么称这两个角互为余角，简称互余。

讲评要点：教师结合互补互余的概念，说明互补、互余只与两角的度数和有关，而跟它

们的位置无关。

【第三环节】

探究思考，获取新知

1、探究：若∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，请问∠2与∠3有什么关系？

探究：若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，请问∠2与∠4有什么关系？

2、探究：若∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，请问∠2与∠3有什么关系？

探究：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3，请问∠2与∠4有什么关系？

明晰并板书：互补互余的性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

讲评要点：学生思考、讨论、交流，将文字语言转化为数学符号，引导学生证明“互补互余的性质”。

【第四环节】

学以致用，拓展延伸

2、下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（

）

4 1 A 2 1 B 2 1 1 C 2 2 D

3、如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE是射线，则∠1的对顶角是_________,∠4的对顶角是______. 4、判断下列说法是否正确，正确的打√，错误的打×。

（1）42°与48°互为余角。

（

）

（2）116°与64°互为补角。

（

）

（3）∠1=90°，则∠1是余角。

（

）

（4）∠1+∠2+∠3=180°，则∠1、∠2、∠3互为补角。

（

）

（5）∠1+∠2=90°，则∠1是∠2的余角。

（

）

（6）两个锐角一定互为余角。

（

）

5、若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。

6、选一选

（1）30°的余角是______, 其补角是_________; （2）一个角的补角是130°，则这个角是_______；

（3）一个角的余角是10°，则这个角的补角是________； （4）如果一个角比它的余角的2倍多30°，则这个角是______，它的补角是________。

150° 45° 100° 60° 110° 70° 50°

7、已知直线AB，直线CD，直线EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=90°，求∠2 的度数。

CE1A2ODBF

8、如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE=__________.

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9、做一做：不管在现实中还是在电脑游戏中，同学们玩过或看过打台球吗？现将把白球击打红球进袋的过程抽象成如下的数学模型：如图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。

（1）

哪些角互为补角？哪些角互为余角？

（2）

∠3与∠4有什么关系？为什么？

（3）

∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？

讲评要点：本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的，前一个问题为下一个问题作好铺垫。学生容易找到∠1与∠3，∠2与∠4互余，教师引导学生找到∠2与∠3，∠1与∠4也互余，利用“同角或者等角的余角相等”得出∠3=∠4。同理∠1+∠AOC=180°，∠2+∠BOD=180°，∠1=∠2，利用“同角或者等角的补角相等”得出∠AOC=∠BOD。

讲评要点：鼓励学生用自己的语言表述，说理要求要恰当。

【第五环节】

学有所思，反馈巩固

（给学生独立思考的时间，然后交流、总结）

这节课你有哪些收获？

活动目的：本环节的设置使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程。

【第六环节】

布置作业，能力延伸

基础题：书P40页习题2.1 第

1,2,3,4题

提高题：练习册第6,7题

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六、教学设计反思

1.

开放课堂，激发潜能

数学来源于生活，反之又服务于生活。本课时我遵循“开放”的原则，引导学生从身边熟悉的情境出发，使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程，体会本节课的重要性和在生活中的广泛应用；通过课堂开放，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学；学生搜集的信息是丰富多彩的，有利于教师给学生一个充分展示自我的舞台，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，激发了学生的潜能，使学生成为课堂的主人，提高了学生分析问题解决问题的能力！

2．动手操作，探究新知

“几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，这也是促使学生认真审题的重要方法。学生的画法千变万化，他们在相互交流中，很容易发现自己的问题，起到相互补充，相互学习的效果，可以轻而易举地掌握新知识。

3．巧设问题串，打造高效课堂 我在教材提供的教学素材的基础上，重组教材，恰当地创设情境,以问题串的方式激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断提出问题分析问题，并创造性地解决问题，通过动手操作、合作交流等方式，为学生构建了开放有效的学习环境。变式训练、一题多解的设置，题目由易到难，由简到繁，争取能让每一位学生都能领略到成功的喜悦！使学生思维分层递进，揭示概念的实质，不断完善新的知识结构，同时体验了知识的形成过程和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内驱力；鼓励学生从多角度思考问题，充分激发学生的创新能力，使学生的思维多向开花，极大的调动学生学习数学的热情！

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