同底数幂的除法教学设计(第一课时)

1.5 同底数幂的除法

一、教材分析

1．教材的地位和作用

《同底数幂的除法》是在学习了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识的基础上来研究同底数幂除法的性质，增加了零指数与负指数的内容，它将为后面的单项式除以单项式、多项式除以单项式、科学记数法等奠定基础，同时在其它学科当中，如自然科学中密度、质量分数等的计算中，有着广泛应用。

2．教学重点和难点

重点：同底数幂相除法则的推导及其应用；

难点：弄清零指数和负整数指数的意义。

3．学习目标：

知识目标：进一步体会幂的意义，了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题；使学生掌握零指数、负整数指数的概念和性质，明确正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂时的合理性。

能力目标：经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，发展猜想、推理能力和有条理的表达能力；注意培养学生用已有知识去探索新知识的能力。

情感目标：通过合作讨论，培养学生团结协作、乐于助人的思想品德；通过由特殊到一般，再由一般到特殊的认识活动，对学生渗透辩证唯物主义观点，并渗透转化思想。

二、教学方法和手段

新的《数学课程标准》指出，让学生经历数学知识的形成与应用过程。因此，我准备在教学过程中，采用创设学生熟悉的问题，采用探索式、启发式等方法进行教学，鼓励学生自主探究和小组合作交流，引导学生观察、归纳、探索，培养学生分析、解决问题的能力。

遵循因材施教的原则，尊重学生的个体差异，采用分层次教学模式组织教学。

三、学法指导

学生自主参与整堂课的知识建构，从情境设置开始，人人尝试问题的发现与解决；互相合作、解决问题；归纳概括、形成能力。通过自主探究、合作交流，学生始终处于主动猜想、主动探索状态，养成及时归纳总结的良好学习习惯，使学生的主体地位得以实现，成为建构新知的主体。

四、教学流程图

五、教学过程

1．创设情境，引入新课

启发学生积极思维是激发学生学习动机的重要方法。由于问题的解决与已有知识“同底数幂的乘法”极其相似，引导学生对新知识展开猜想，可以大大激发学生的求知欲，因此，我准备用一个实际问题引入新课。从实际问题引入同底数幂的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会同底数幂的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系。

引例：一种液体每升含有1012个有害细菌。为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌。要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？

说明：这是同底数幂的除法，是我们今天要解决的问题。

这里可让学生进行分组讨论计算的方法，比一比哪一组的方法最多。

每一组派一名代表交流讨论结果，大致方法可以有：

（1）10÷10＝1 000 000 000 000÷1 000 000 000＝1 000；

129创设情境

引入新课

复习提问

巩固性质

自主探索

培养能力

讲解例题

巩固新知

分层练习

再设情境

深入探究

问题迁移

学生练习

巩固新知

课堂小结

布置作业

（2）10÷10＝129101010101010101010101010＝1 000；

101010101010101010（3）1012÷109＝103＝1 000。

每一种方法都说明自己的理由，其中第（3）种是猜的，对能够大胆猜想充分予以肯定，并要求说明这样猜的理由（与同底数幂的乘法类似，因此猜想用类似的办法）。

2．复习提问，巩固性质

问题：同底数幂的乘法法则是什么？（同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。）

可用怎样的公式进行表示？（am·an＝am＋n（m，n都是正整数））

…

…

aman＝(aa　　a)(aa　　a)＝am＋n如何说明它是正确的？（

m

个

n个

）

3．自主探索，培养能力

做一做：

计算下列各题，并说明理由（m＞n）：

（1）108÷105；

（2）10m÷10n；

（3）(－3)m÷(－3)n。

“做一做”的目的，是使学生通过对特例的考察，归纳出同底数幂的除法运算性质，并运用幂的意义加以说明。在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，发展了归纳、符号演算等推理能力和有条理的表达能力。

交流方法。我准备用实物投影仪，将比较好的方法向全体学生展示（特别是成绩中下的学生，使他们体会到成功的喜悦，从而激发学习的兴趣，提高学习的积极性）。

通过以上的计算，让学生归纳同底数幂除法的法则和计算公式（由于已有了乘法法则，因此这不是一个难点，可让中下学生进行口答，并提问：为什么要求a≠0?）。

如何说明这个公式的正确性？（较难，可由中上学生进行口答）

（

）

mnaa＝

m个aaa　　a…

…

aa　　an个am－n个a…

＝aa　　a＝am－n

4．讲解例题，巩固新知

例1

计算：

（1）a7÷a4；

（3）(xy)4÷(xy)；

（2）(－x)6÷(－x)3；

（4）b2m＋2÷b2。

较容易，学生口答，教师用多媒体显示解题方法。

5．分层练习，再设情境

①

下面的计算是否正确？如有错误请改正：

（1）a6÷a＝a6；

（3）a10÷a9＝a；

（2）b6÷b3＝b2；

（4）(－bc)4÷(－bc)2＝－b2c2。

②

练一练：以下各题，请选择其中4题进行（其中最后两题较难）：

（1）213÷27；

（3）a11÷a5；

（5）(－ab)5÷(－ab)2；

（7）103÷103；

（2）(－)6÷(－)2；

（4）(－x)7÷(－x)；

（6）62m＋1÷6m；

（8）22÷25。

3232大多数学生都勇于挑战，对难题有一种征服的欲望，因此有不少学生会选择后两题，学习有困难的学生则一般会选择比较靠前的几题。

6．深入探究，问题迁移

对于最后两个练习题，通过实物投影仪，展示不同的解题方法。

主要方法可能有：

104÷104＝10101010＝1；

101010102211＝＝；

22222222822÷25＝104÷104＝104－4＝100；

104÷104＝10 000÷10 000＝1；

22÷25＝22－5＝2－3；

22÷25＝4÷32＝。

18104÷104＝1（被除法与除法相同）。

在以上的各种解法中，第二种方法用了同底数幂的除法的法则（但没有考虑m＞n这一条件），出现了陌生的东西：100和2－3，我们称之为零指数和负指数。

你能不能设计两道计算题，使其运算后分别出现零指数和负指数？（开放题）

如果出现了零指数或负指数，有没有办法把它们化为我们熟悉的数？（学生自由发言）

我们规定：

a0＝1（a≠0）

a－p＝1（a≠0，p为正整数）

ap即：任何不等于0的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的－p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

例2

用小数或分数表示下列各数：

（1）10－3；

（2）70×8－2；

（3）1.6×10－4。

由学生个别口答。

7．学生练习，巩固新知

①

用小数或分数表示下列各数：

（1）()0；

（2）3－3；

12（3）1.3×10－5；

（4）5－2。

②

空气的密度是1.239×10－3克／厘米3，用小数把它表示出来。

8．课堂小结，布置作业

这节课学习了哪些知识？（用文字和公式说明）

补充说明：由于有了零指数与负指数的知识，因此，同底数幂的除法法则中“m＞n”这一条件可以略去。

与同底数幂的乘法法则比较，有什么异同？

作业布置（略）。

六、板书设计

a·a＝amnm＋n（m，n都是正整数）

am÷an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数，m屏

幕

＞n）

a0＝1（a≠0）

a－p＝

1（a≠0，p为正整数）

ap