实验与探究 设计跑道第二课时教案

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

24. 4 弧长和扇形面积

教学目标

1. 理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．

2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．

3. 了解母线的概念，掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

4. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

5. 通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．

教学重点

1. 经历探索弧长及扇形面积、圆锥侧面积计算公式的过程．

2. 掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．

教学难点

弧长及扇形面积、圆锥侧面积计算公式的推导过程．

课时安排

2课时

1

教师备课系统──多媒体教案

教案A

第1课时

教学内容

24．4弧长和扇形面积（1）．

教学目标

1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．

2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．

3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．

教学重点

1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．

教学难点

推导弧长及扇形面积计算公式的过程．

教学过程

一、导入新课

在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．

二、新课教学

1．弧长的计算公式．

思考：（1）如何计算圆周长？

（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？

（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？

教师引导学生思考、分析、讨论，从而得出弧长的计算公式．

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2RRnR，即．于是n°的圆心角所对的弧长为l．

1803601802．实例探究．

例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．

2

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

解：由弧长公式，得的长

l100900＝500π≈1 570（mm）．

180因此所要求的展直长度

L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．

3．扇形的概念和扇形面积的计算公式．

如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？

思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所R2nR2以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．

360360

4．弧长与扇形面积的关系．

我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长nn的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式180360中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？

∵l＝∴nnπR，S扇形＝πR2，

180360n1n1πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．

360218025．扇形面积的应用．

例2

扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和2扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm) 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

3

教师备课系统──多媒体教案

解：S扇形＝的长＝120π×12≈25.1cm．

180120π×122≈150.7cm2．

360的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．

因此，三、巩固练习

教材第113页练习．

四、课堂小结

本节课应该掌握：

1．弧长的计算公式．

2．扇形的面积公式．

3．弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．

五、布置作业

习题24.4 第1、2题．

第2课时

教学内容

24．4弧长和扇形面积（2）．

教学目标

1．了解母线的概念．

2．掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

3．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

教学重点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学难点

圆锥侧面积计算公式的推导过程．

教学过程

一、导入新课

师：大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？

生：见过，如漏斗、蒙古包．

师：你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．

生：圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

师：圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．

4

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

二、新课教学

1．圆锥的母线．

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．

2．探索圆锥的侧面公式．

思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？

（1）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形．

（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)．

3．利用圆锥的侧面积公式进行计算．

例

蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1．8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（n取3．142，结果取整数）？

解：右图是一个蒙古包的示意图．

根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2．高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．

圆柱的底面圆的半径r＝12≈1.945(m)，侧面积为2π×1.945×1.8≈22.10(m2)．

圆锥的母线长l＝1.94521.42≈2.404(m)，侧面展开扇形的弧长为2π×1.945≈12.28(m)，圆锥的侧面积为1×2.404×12.28≈14.76(m2)．

2因此，搭建20个这样的的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m2)．

三、巩固练习

教材第114页练习．

四、课堂小结

本节课应该掌握：

5

教师备课系统──多媒体教案

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．

五、布置作业

习题24.4 第4、5、7题．

教案B

第1课时

教学内容

24．4弧长和扇形面积（1）．

教学目标

1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．

2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．

3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．

教学重点

1．推导弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．

教学难点

推导弧长及扇形面积计算公式的过程．

教学过程

一、导入新课

复习圆的周长和面积公式，导入新课的教学．

二、新课教学

1．弧长的计算公式．

思考：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2RRnR，即．于是n°的圆心角所对的弧长为l．

1803601802．扇形面积的计算公式．

如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？

6

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所nR2R2以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．

3603603．实例探究．

例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．

解：由弧长公式，得的长

100900＝500π≈1 570（mm）．

l180因此所要求的展直长度

L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）．

例2 如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．

解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交连接AC．

∵

OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，

∴

OD＝OC－DC＝0.3（m）．

∴

OD＝DC．

又

AD⊥DC，

∴

AD是线段OC的垂直平分线．

∴

AC＝AO＝OC．

于点C，

7

教师备课系统──多媒体教案

从而

∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．

有水部分的面积

S＝S扇形OAB－S△OAB

1201×0.62－AB·OD 36021＝0.12π－×0.63×0.3 2＝≈0.22（m2）．

三、巩固练习

教材第113页练习．

四、课堂小结

今天学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题24.4 第1、2题．

第2课时

教学内容

24．4弧长和扇形面积（2）．

教学目标

1．了解母线的概念．

2．掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

3．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

教学重点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学难点

圆锥侧面积计算公式的推导过程．

教学过程

一、导入新课

出示漏斗、蒙古包的图片，让学生初步认识圆锥形图形，导入新课的教学．

二、新课教学

1．探索圆锥的侧面公式．

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．

思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？

（1）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是8

人教版义务教育教材◎数学九年级上册

一个扇形．

（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)．

2．实例探究．

例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm)．

分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公nR式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．

180解：R＝40mm，n＝110．

n110∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．

180180因此，管道的展直长度约为76.8mm．

例2 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2 ) 分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．

58解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝

2582)202≈22.03cm，

21S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2．

2l＝(638.87×20＝12 777.4cm2．

所以，至少需要12 777.4cm2的纸．

三、巩固练习

教材第114页练习．

四、课堂小结

本节课应该掌握：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．

五、布置作业

习题24.4 第4、5、7题．

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