小结课堂实录【2】

考点一

函数的定义域

基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.

考法(一)

已知函数解析式求定义域

1．(2018·石家庄模拟)函数y＝xln(2－x)的定义域为(

) A．(0,2)

C．(0,1]

B．[0,2) D．[0,2]

解析：选B

由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．

2．(2018·济南模拟)函数f(x)＝1的定义域为________________．

log2x2－11解析：要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0

故所求函数的定义域是210，∪(2，＋∞) 答案：2[题型技法]

已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

考法(二)

抽象函数的定义域

3．已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．

0≤x＋1≤4，解析：由题意知解得1≤x≤3. 0≤x－1≤4，

故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．

答案：[1,3]

4．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3 ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3 ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．

答案：[－1,2]

[题型技法]

抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

[怎样快解·准解]

1．如何避免失误

(1)函数f(g(x))的定义域指的还是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．(如第4题) (2)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．(如第2题) 2．重要的知识结论要熟记

常见基本初等函数定义域的基本要求：

(1)分式函数中分母不等于零；

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0；

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R；

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}；

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R；

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；

πx≠kπ＋，k∈Z. (7)y＝tan x的定义域为x2考点二

求函数的解析式

重点保分型考点——师生共研

函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.

[典题领悟]

11x＋x＝x2＋2，求函数f(x)的解析式．

(1)已知fx2(2)已知fx＋1＝lg x，求f(x)的解析式．

(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．

(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

111x＋＝x2＋2＝x＋2－2，

解：(1)由于fxxx所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

22(2)令x＋1＝t，得x＝，

t－12代入得f(t)＝lg，

t－1又x>0，所以t>1，

2故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．

x－1(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

2a＋b＝b＋1，1所以解得a＝b＝. 2a＋b＝1，

11所以f(x)＝x2＋x，x∈R. 22(4)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2x，②

－①×2－②，得3f(x)＝2x1－2x. ＋－2x1－2x即f(x)＝. 3＋－2x1－2x故f(x)的解析式是f(x)＝. 3＋－[解题师说]

1．依题型准确选用4种方法速求函数解析式

题型

已知函数f(g(x))＝F(x)求解析式

方法

步骤

将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的配凑法

表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(1)) 令g(x)＝t，从中解出x(用t表示)，代入换元法

F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(2)) 先设出含有待定系数的解析式，再利用待定系数法

恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数．(如典题领悟(3)) 1已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，解方程组法

可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)已知复合函数f(g(x))＝F(x)求解析式

已知函数类型(如一次函数，二次函数)求解析式

求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)

的解析式．(如典题领悟(4)) 2．谨防求函数解析式的2种失误

(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题) (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．

如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．

[冲关演练]

1．(尝试用换元法解题) 1x如果f＝x1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(

) 1A.x

1C.

1－x1B.

x－11D.x－1 11解析：选B

令x＝t，得x＝t(t≠0且t≠1)，

1∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)，

1t－11－t∴f(x)＝1(x≠0且x≠1)．

x－11t2．(尝试用待定系数法解题) 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(

)

11A．y＝x3－x2－x

221C．y＝x3－x

411B．y＝x3＋x2－3x

2211D．y＝x3＋x2－2x

42解析：选A

设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，

f0＝d＝0，f2＝8a＋4b＋2c＋d＝0，由题意知f′0＝c＝－1，f′2＝12a＋4b＋c＝3，11∴f(x)＝x3－x2－x. 223．(尝试用配凑法解题)

b＝－1，解得2c＝－1，d＝0，1a＝，2

1＋xx＋11已知fx＝x2＋x，则f(x)＝(

) A．(x＋1)2

C．x2－x＋1

22B．(x－1)2

D．x2＋x＋1 1＋xx＋11x＋12x＋1解析：选C

fx＝x2＋x＝x－x＋1，

所以f(x)＝x2－x＋1. 4．(尝试用解方程组法解题) 1已知f(x)满足2f(x)＋fx＝3x，则f(x)＝________. 1解析：∵2f(x)＋fx＝3x，①

113把①中的x换成x，得2f＋f(x)＝xx.②

2fx＋fx＝3x，联立①②可得1＋fx＝3，2fxx1

1解此方程组可得f(x)＝2x－x(x≠0)．

1答案：2x－x(x≠0) 考点三

分段函数

题点多变型考点——追根溯源

分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有：,1求值问题；,2求参数或自变量的值或范围.

[题点全练]

角度(一)

求值问题

2cos πx，x≤0，41．已知函数f(x)＝则f3的值为(

) fx－1＋1，x>0，

A．－1

3C.

2B．1 5D.

241－2＋1＋1＝2cos－2π＋2＝2×－1＋2＝解析：选B

依题意得f＝f＋1＝f333321. [题型技法]

求分段函数的函数值的方法

求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

角度(二)

求参数或自变量的值(或范围) x＋1，x≤0，1x－>1的x的取值范2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f22，x>0，

围是________．

11解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．

2211当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，

241∴－1，显然成立．

2211当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．

221－，＋∞. 综上可知，所求x的取值范围是41－，＋∞

答案：4[题型技法]

求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法

求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．

[题“根”探求]

角度(一)是求分段函数的函数值；

看个性

角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围

找共性

(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决

问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；

(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题

[冲关演练]

1．已知f(x)＝{log3x，x>0，A．－2

C．3

ax＋b，x≤0，

且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(

) B．2 D．－3 解析：选B

由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；

1－－f(－1)＝a1＋b＝a1＋1＝3，解得a＝. 21－3故f(－3)＝2＋1＝9，

从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2. 1x2．设函数f(x)＝2－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是(

) B．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

A.(－∞，－3)

C．(－3,1)

1a1a<8，解得a>－3，故－3

解析：选C

若a<0，则f(a)<1⇔－7<1⇔22若a≥0，则f(a)<1⇔a<1，解得a<1，故0≤a<1. 综合可得－3

则不等式f(x)>f(1)的解集是(

) A．(－3,1)∪(3，＋∞)

C．(－1,1)∪(3，＋∞)

解析：选A

由已知得f(1)＝3，

当x≥0时，由f(x)>f(1)得x2－4x＋6>3，

解得0≤x<1或x>3. 当x<0时，由f(x)>f(1)得x＋6>3，

解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．

B．(－3,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)