习题3.1特级教师教学实录

方程的根与函数的零点习题

一、教学内容分析

函数作为高中的重点知识在学科知识与实践生活中有着广泛应用.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其目的在于让学生从熟悉的环境中发现新知识，并且使新知识与原有知识形成联系.本节设计的思想是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学理念是：理解巩固“数形结合”和“转化”的思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面着手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.此外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物. 二、教学目标

本课题的重难点在于根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.本课题的研究目标意在：

1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”之间的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，并且会用多种方法求方程的根和函数的零点. 2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界. 3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐. 三、学情分析

学生已经学习了函数的概念，对初等函数的图像、性质已经有了一个比较系统的认识与理解，这为本节课利用函数图像，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础，不过学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任，具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。

四、教学过程

（一）导入新课

(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数

关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？

炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1 （二）新知探究

提出问题

①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象. ②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象. ③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象. ④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系? ⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系? ⑥归纳函数零点的概念.

⑦怎样判断函数是否有零点？

⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？

问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-2).

问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-3).

问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-4). 问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数. 问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？

问题⑥:函数的零点是一个实数. 问题⑦:可以利用“转化思想”.

问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？

讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3. ②方程的实数根为1. ③方程没有实数根. ④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标. ⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点. ⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ⑦方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. ⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］

上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］

同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根. [来源学科网][来源学科网]

图3-2

图3-3

图3-4 （三）应用示例

例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围. (1)函数有两个零点; (2)函数有三个零点;

(3)函数有四个零点. 解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数. [来源学科网ZXXK]

图3-5 (1)若函数有两个零点，则a=0或a>4. (2)若函数有三个零点，则a=4. (3)函数有四个零点,则0

判断函数y=|x-1|-2零点的个数. 解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-6)，

图3-6 函数y=|x-1|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点. 例2若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.

解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-7

图3-7 因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，

f(2)0,22a0,f(0)0,a0,所以即故所求a的取值范围是-12

关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围. 解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-8). 因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2, 所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2. 即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧. 只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1

图3-8 . 总结：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 五、教学评价设计

1、教学采用探究式教学，让学生主动学习，讨论小组合作探究性学习的色彩比较浓；

2、课堂氛围很活跃，能让学生亲自体会知识的产生过程，诱使学生讲出自己的想法。使学生

“真”的融入到了本节课的教学当中；

3、多媒体的使用比较得当。

六、教学板书

（一）引入新课

（二）探求新知

（三）应用示例

七、教学反思

在整节课的教学中可能存在一些不足，教学重点不是太突出，高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务．在这一任务的达成度方面，本课还需更加浓墨重彩的予以突出．