习题3.1教学设计第一课时

知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

【知识拓展】

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(x1,0)，(x2,0) 2

(x1,0) 1

无交点

0

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

教学过程

【知识梳理】

1、函数

y2x1的零点是什么？

函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

112．(2016·杭州检测)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(

) 2x1A．(，1)

eC．(2，e)

函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

13．(教材改编)函数f(x)＝x－()x的零点个数为(

) 2A．0

B．1

C．2

D．3 几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

【考点自测】

4．函数f(x)＝2x|log0.5

x|－1的零点个数为________．

1x解析

由f(x)＝0，得|log0.5x|＝2，

1x作出函数y＝|log0.5x|和y＝2的图象，

由上图知两函数图象有2个交点，

故函数f(x)有2个零点．

【例1】

已知函数f(x)x2x212B．(1,2) D．(e,3) 1

，若yf(x)a有4个零点（零点不同），求a的取值范围。

2变式1：设x1,x2,x3,x4是函数的4个零点，求x1x2x3x4的值。

变式2：设x1,x2,x3,x4是函数的4个零点，求x1x2x3x4的值。

变式3：f(x)min2x,x2，动直线ym与yf(x)的图像有3个不同的交点，横坐标分别是x1,x2,x3，

（1）x1x2x3的取值范围；

（2）x1x2x3最大值。

11x,x[0,)22变式4：f(x)若存在x1,x2，当0x2时，则x1f(x2)的取值范围.。

12x1,x[,2)2【例2】

f(x)ax33x21(a0)若f(x)存在2个零点，求a的取值范围。

变式1：f(x)ax33x21(a

0)

若f(x)存在2个零点，求a的取值范围。

变式2：f(x)ax33x21(a

0)

若f(x)存在2个零点，求a的取值范围。

知识总结

1、函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

2、几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3、)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

板书设计

函数的零点

例1

例2 零点的判定

变式

变式

等价关系