实习作业教学设计方案

《函数的单调性与奇偶性》教学设计

【教学目标】

1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；

3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】

1.通过对函数y2x、y3x、y12及yx的观察提出有关函数单调性的问题. x2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

①

以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.

②

以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？

答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；

（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.

新授课阶段

一、函数的单调性

增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

例1

如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，及在每一单调区间上，yf(x)是增函数还是减函数. 解：函数yf(x)的单调区间有5,2,2,1,1,3,3,5，

其中yf(x)在区间5,2，1,3上是减函数，在区间y y

5 x 5 x 2,1,3,5上是增函数. 注意：1.单调区间的书写

2．各单调区间之间的关系

-5 -以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？

例2

证明函数f(x)3x2在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则xx1x20，

yf(x1)f(x2)(3x12)(3x22)3(x1x2)3x0. 所以，f(x)3x2在R上是增函数. 例3

证明函数f(x)1在(0,)上是减函数. x证明：设x1,x2是(0,)上的任意两个实数，且x1x2，则xx1x20

yf(x1)f(x2)11x2x1. x1x2x1x2由x1,x2(0,)，得x1x20，且x2x1x0. 于是y0.

所以，f(x)1在(0,)上是减函数. x利用定义证明函数单调性的步骤：

（1）

取值；

（2）

计算x、y；

（3）

对比符号；

（4）

结论.

二、奇函数、偶函数的概念：

1．偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. 2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数. 注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）. （二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称. 例4 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（

A

）

①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）. A．1

B．2

C．3

D．4 【提示】①不对，如函数f(x)1是偶函数，但其图象与y轴没有交点；②不对，因为奇2x函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕，答案为A. 2（2）已知函数f(x)axbx3ab是偶函数，且其定义域为［a1,2a］，则（

）

A．a1，b＝0

B．a1，b＝0

C．a1，b＝0

D．a3，b＝0 3

【提示】由f(x)ax2bx3ab为偶函数，得b＝0.又定义域为［a1,2a］，∴

(a1)2a0，∴a1．故答案为A. 3例5

判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)(x1)1x；(2)f(x)1x2x21；

1x2(x0)lg(1x2)xx. （3）f(x)2；（4）f(x)2xx(x0)|x2|2

解：（1）由1x0，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数. 1x21x0(2)

2x21x1，∴

f(x)0

∴f(x)既是奇函数又是偶函数. x10222lg(1x)1x0lg(1x)（3）由2得定义域为(1,0)(0,1)，∴f(x)，

22x(x2)2|x2|20lg[1(x)2]lg(1x2)f(x)，

∴f(x)为偶函数. ∵f(x)22(x)x

（4）当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)，当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)，综上所述，对任意的x(,)，都有f(x)f(x)，∴f(x)为奇函数. 例6

若奇函数f(x)是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：f(a2)f(a24)0. 222解：由已知得f(a2)f(a4)，因f(x)是奇函数，故

f(a4)f(4a)，于是f(a2)f(4a2).又f(x)是定义在（1，1）上的增函数，从而

3a2a24a21a213a2，

即不等式的解集是1a31a2415a3或3a5(3,2). 例7

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)f(y)f(xy)，且当

x0时，f(x)0，又f(1). （1）求证：f(x)为奇函数；（2）求证：f(x)在R上是减函数；（3）求f(x)在[3，6]上的最大值与最小值. （1）证明：令xy0，可得

f(0)f(0)f(00)f(0)，从而，f(0) = 0.令yx，可得

f(x)f(x)f(xx)f(0)0，即f(x)f(x)，故f(x)为奇函数. （2）证明：设x1,x2∈R，且x1x2，则x1x20，于是f(x1x2)0．从而23f(x1)f(x2)f[(x1x2)x2]f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0.所以，f(x)为减函数. （3）解：由（2）知，所求函数的最大值为f(3)，最小值为f(6).f(3)f(3)[f(2)f(1)][2f(1)f(1)]3f(1)2.，f(6)f(6)[f(3)f(3)]4.于是，f(x)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为

-4. 课堂小结

1. 单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法. 2. 求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值. （2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. （3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值. 3. 判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 作业

见同步练习部分

拓展提升

1.下列四个函数：①

yxx2，其; ②yx2x；

③

y(x1)2; ④yx11x中在(-,0)

上为减函数的是（ ）

（A）① （B）④ （C）①、④ （D）①、②、④

2.函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1(a,b),x2(c,d)，且x1x2那么（ ）

A．f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2) C．f(x1)f(x2) D．无法确定

3. 已知函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)，实数m的取值范围为( ) A. m>0 B. 0

2224．下列命题中，真命题是（

）

A．函数y1是奇函数，且在定义域内为减函数

xB．函数yx3(x1)0是奇函数，且在定义域内为增函数

C．函数yx2是偶函数，且在（3，0）上为减函数

D．函数yax2c(ac0)是偶函数，且在（0，2）上为增函数

5．若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)a(x)bg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f(x)在（－∞，0）上有（

）

A．最小值－5

B．最大值－5

C．最小值－1

D．最大值－3 6设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数,则a的范围为(

)

A．a1111

B．a

C．a

D．a

222227．函数yxbxc(x[0,))是单调函数的充要条件是(

)

A．b0

B．b0

C．b0

D．b0

a,bR且ab0，则下列表达正确的是8．已知f(x)在区间(,)上是减函数，（

）

A．f(a)f(b)[f(a)f(b)]

B．f(a)f(b)f(a)f(b)

C．f(a)f(b)[f(a)f(b)]

D．f(a)f(b)f(a)f(b)

9．画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）yx22|x|1 （2）y|x22x3|

10．根据函数单调性的定义，证明函数

在

上是减函数．

11.设f(x)是定义在R上的函数，对m、nR恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1. （1）求证：f(0)1；

（2）证明：xR时恒有f(x)0；

（3）求证：f(x)在R上是减函数；

（4）若f(x)f(2x)1，求x的范围.

参考答案

1. A 2. D 3.B 4.C【提示】A中，y1在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；xD中，当a0时，yax2c(ac0)在（0，2）上为减函数，答案为C. 5.C【提示】(x)、g(x)为奇函数，∴f(x)2a(x)bg(x)为奇函数.又f(x)有最大值5，

∴－2在（0，＋∞）上有最大值3.∴f(x)－2在(,0)上有最小值－3，∴f(x)在(,0)上有最小值－1．答案为C. 6.D【提示】2a1<0时该函数是R上的减函数.

7. A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象. 8.D【提示】ab0可转化为ab和ba在利用函数单调性可得.

22x2x1(x0)(x1)2(x0)9.解：(1)y2

即y

2x2x1(x0)(x1)2(x0)

如图所示，单调增区间为(,1]和[0,1]，单调减区间为[1,0]和[1,). （2）当x22x30,得1x3，函数yx22x3(x1)24

当x22x30,得x1或x3，函数yx22x3(x1)24，

2(x1)4(1x3). 即y2(x1)4(x1或x3)如图所示，单调增区间为[1,1]和[3,]，单调减区间为(,1]和[1,3].

(1)

(2)

3322x,xR且xxf(x)f(x)xx(xx)(xxxx),

1212122121212110.证明：设，则

因为x1x2

，所以x2x10，且在

x1与

x2中至少有一个不为0，不妨设

x20，那x22x1x2x12(x1x2232)x20，所以f(x1)f(x2)，故

f(x)在

(,)上24么为减函数. 11.解：(1)取m=0，n= 1111则f(0)f()f(0)，因为f()0

所以f(0)1. 2222

(2)设x0则x0，

由条件可知f(x)0，

又因为1f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0.∴xR时，恒有f(x)0. （3）设x1x2则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)

=f(x1)f(x2x1)f(x1)

=f(x1)[1f(x2x1)].因为x1x2所以x2x10所以f(x2x1)1即1f(x2x1)0，又因为f(x1)0x)[1f，所以f(12x(1x)，]所0以

f(x1)f(x2)0，即该函数在R上是减函数. (4) 因为f(x)f(2x)1，所以f(x)f(2x)f(2xx2)f(0)，所以2xx20，所以x的范围为x2或x0.