习题2.1教学设计(教案)

2．根式

n(1)定义：式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①(a)＝a.

②[点睛]

nn(a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而an中a∈R. nnna，n为奇数，a＝

|a|，n为偶数.n

3．分数指数幂的意义

正分数

指数幂

负分数

指数幂

0的分数

指数幂

[点睛]

分数指数幂amn规定：amn＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) -n规定：amn＝1amn分数指幂

＝n1am

(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

m不可以理解为n个a相乘．

4．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ars(a＞0，r，s∈Q)．

＋(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

5．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意实数的奇次方根只有一个．(

) (2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．(

) (3)

π－42＝4－π.(

) mn(4)分数指数幂am可以理解为n个a相乘．(

) (5)0的任何指数幂都等于0.(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

2.a2可化为(

) －5

25A．aa

52-

B．a

C．a

5225

D．.－答案：A 3．化简25的结果是(

) A．5

答案：D 122＝________. 4．计算：π＋2×40－232

B．15

C．25

D．.125 111答案：

8

根式的化简与求值

[例1]

化简：

(1)nx－πn(x＜π，n∈N*)；

16a≤. (2)4a2－4a＋12[解]

(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，

nx－πn＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时，

nx－πn＝x－π.

n*π－x，n为偶数，n∈N，x－π＝

*x－π，n为奇数，n∈N.n综上可知，

1(2)∵a≤，∴1－2a≥0，

2∴4a2－4a＋1＝2a－12＝1－2a2＝1－2a.

根式化简应遵循的3个原则

(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．

(2)被开方数是带分数的要化成假分数．

(3)被开方数中不能含有分母；使用ab＝a·b(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．

[活学活用]

6663

1．若xy≠0，则使4x2y2＝－2xy成立的条件可能是(

) A．x＞0，y＞0

C．x≥0，y≥0

B．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＜0 解析：选B

∵4x2y2＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0. 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B. 2．若2a－12＝1－2a3，则实数a的取值范围为________．

解析：

332a－12＝|2a－1|，

1－2a3＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a，

1故2a－1≤0，所以a≤. 21－∞，

答案：2

根式与分数指数幂的互化

[例2]

用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：

(1)31a21；(2)a·a；(3) 3323b. －a22-113[解]

(1)3＝. 2＝a232aa2(2)a·a2＝a3·a＝a3＋＝a33323113. 13131313-23(3)

3b－2

b2＝b·－12＝b·(－a)2＝a－a－a1313＝－ba

根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数

化为

分数指数的分母，被开方数(式)的指数

化为

分数指数的分子．

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

[活学活用]

3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(

)

12A．－x＝(－x)

(x＞0)

3C．x－＝

44

16B.y2＝y(y＜0) 313D．x－＝－x(x≠0) 313(x＞0)

x12解析：选C

－x＝－x

(x＞0)；

6y2＝[(y)2]＝－y

(y＜0)；

14416133－x－＝(x3)＝

4x-1313(x＞0)；

x1—＝x＝1331x(x≠0)．

4．将下列根式与分数指数幂进行互化：

①a-43；②

433aa(a＞0)；③a35a·a4(a＞0)．

解：①a-＝4131a3. 1612②

3aa＝a·a＝a. 1-2③原式＝a3·a·a4-5＝a143--25＝a1710.

指数幂的运算

[例3]

计算下列各式：

3120＋2－2×2－2－0.010.5；

(1)54(2)0.0641(3)4

--1317－0＋[(－2)3] －8·-43＋16－0.75；

3212(4ab1)31332

(a>0，b>0)．-

0.12(ab)142121116[解]

(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝. 100496101551127－－－(2)原式＝0.41－1＋(－2)4＋23＝－1＋＋＝. 21681631442(3)原式＝·a·a2100111232-32·b-32·b＝324004ab＝. 2525

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

[活学活用] 5．计算：

162＋2564＋(22)3－3－1＋π0；

(1)0.027－413132(2)(a2b3)·(－4a1b)÷(12a4b2c)；

－－－－－(3)2a÷4a·b·3b3. 解：(1)原式＝(0.3) 764. 15(2)原式＝－4a－2－1－3＋13631352－212＋(4) 434151＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝3232323b÷(12a4b2c) －－1－－－－－－－＝－a3(4)b2(2)c1

3a1－＝－ac1＝－. 33c(3)原式＝2a÷(4ab)·(3b) 1＝a211-3613161632b-16314·3b＝ab. 263条件求值问题

12-1232

[例4]

已知a＋a－＝5，求下列各式的值：

(1)a＋a1；(2)a2＋a2. －[解]

(1)将a＋a－12-12＝5两边平方，得a＋a1＋2＝5，即a＋a1＝3. －－－－(2)将a＋a1＝3两边平方，得a2＋a2＋2＝9，∴a2＋a2＝7. [一题多变] 1．[变结论]在本例条件下，则a2－a2＝________. －解析：令y＝a2－a2，两边平方，得y2＝a4＋a4－2＝(a2＋a2)2－4＝72－4＝45，∴y－－－＝±35，即a2－a2＝±35. －

答案：±35 2．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求值．

a-b12121212

ab12121212122解：a-b12＝（a-b）12121212＝ab（ab）（a-b）（a+b）-2（ab）.

①

a-b12∵a＋b＝12，ab＝9，

②

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－63.

③

将②③代入①，得a-b12121212＝ab

12-293＝－. 3-6312条件求值的步骤

层级一

学业水平达标

1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(

) 131214A．(－1)和(－1)

C．2和4

1326

26

B．0－2和0

3212D．

4-

1 －3和

2



13解析：选C

选项A中，(－1)

266和(－1)

均符合分数指数幂的定义，但(－1)

3＝－1－1，(－1)＝－12＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，412-321－3和2虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满144足题意；选项C中，2＝2，4＝22＝2＝2，满足题意．故选C. 2．已知：n∈N，n＞1，那么A．5

2n12－52n等于(

)

B．－5

C．－5或5

D．不能确定

解析：选A

2n－52n＝2n52n＝5. 3．计算8116－14的结果为(

) A.23

B.32

C．－23

解析：选A

8116－14＝324－14＝32－1＝23. 344．化简[3－52]的结果为(

) A．5

B.5

C．－5

331解析：选B

[342－52]＝[(－5)

3]

4＝52＝5. 5．计算(2a－3b－2)·(－3a－1－53b)÷(4a4b－3)得(

) 7A．－3b2

B.3b2

C．－3b3222

1-43解析：选A

原式＝6ab3＝－34a-4b-52b2. |－x2＋x26．若x≠0，则|x|x|＝________. 解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋|x||x|＝1. 答案：1 7．若x2＋2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则(x2 017)y＝________. 解析：因为

x2＋2x＋1＋

y2＋6y＋9＝0，

所以

x＋12＋

y＋32＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，

所以x＝－1，y＝－3. ∴(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1. 答案：－1 8.

61－

34338＋30.125 的值为________．

解析：原式＝

5232－

3323＋

123＝52－32＋12＝32. 答案：32

9．计算下列各式(式中字母都是正数)：

D．－32

D．.－5 7

D.3b32

2111152ab－6ab)÷－3ab

；

(1)2366323(2)(mn－)8. 8111152

14解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a3＋2－6b2＋3－6

＝4ab0＝4a. 1(2)原式＝(m4)8(n-38)8＝m2n－3＝m2n3. 10．已知4a4＋4b4＝－a－b，求4a＋b4＋3a＋b3的值．

解：因为4a4＋4b4＝－a－B.

所以4a4＝－a，4b4＝－b，

所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，

所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 层级二

应试能力达标

2n＋12·11．计算22n＋14n·8－2(n∈N*)的结果为(

) A.164

B．22n＋5

C．2n2－2n＋6

D.122n－7

22n＋2·2－2n－121解析：选D

原式＝122n·232n－－2＝2－6＝272n＝22n－7. 122.12

0－(1－0.5－2)÷2783的值为(

) A．－13

B.143

C.3

解析：选D

原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．设a＞0，将a2表示成分数指数幂的形式，其结果是(

) a·3a2257A．a3

B．a5

C．a6

D.73

3

D．.a2

解析：选C

a2a·a32＝a22a·a3＝a2a53＝a2a53557＝a2·a－＝a2－＝a. 666124．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(

) 1A.

9B.3

C．1

D.9 43解析：选B

∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x. ∴x8＝9.∴x＝9＝3. 84b1－5．如果a＝3，b＝384，那么a[()7]n3＝________. ab138417n－3)7]n－3＝3[(128)]n－3＝3×2n－3. 解析：a[()]＝3[(a3答案：3×2n3

－176．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 1解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝. 511＋－则2α·2β＝2αβ＝22＝，(2α)β＝2αβ＝2. 451答案：

2

47．化简求值：

107237－(1)29

0.5＋0.12＋227－－3π0＋；

3481531－681-4(2)8－(0.5)＋3×16；

－32338213(3)－3＋(0.002)－2－10(5－2)－1＋(2－3)0. 2564-31375937解：(1)原式＝9＋2＋27－3＋＝＋100＋－3＋＝100. 0.14831648(2)8231221－681-41－634-4－3－1－332－(0.5)＋×16＝(2)－(2)＋(3－)×2＝22－23＋323333－3833×＝4－8＋27×＝4. 22732112108(3)原式＝(－1)－×3－＋－－＋1 3350025－2

1．指数函数的定义

函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. [点睛]

指数函数解析式的3个特征

(1)底数a为大于0且不等于1的常数．

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 2．指数函数的图象和性质

a＞1

0＜a＜1 图

象

定义域

性

质

值域

过定点

单调性

a＞1

R (0，＋∞) 过点(0,1)即x＝0时，y＝1 是R上的增函数

是R上的减函数

0＜a＜1 [点睛]

底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数．

(

) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．

(

) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．

(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．函数y＝(3－1)x在R上是(

) A．增函数

C．偶函数

答案：D 3．函数y＝2－x

B．奇函数

D．.减函数

的图象是(

)

答案：B 4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．答案：(3∞)

指数函数的概念

[例1]

(1)下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝3x；④y＝x3. ＋

其中，指数函数的个数是(

) A．0

C．2

B．1

D．3 (2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(

) A．a＝1或a＝3

C．a＝3

②中，y＝3x＋1B．a＝1 D．

a>0且a≠1

[解析]

(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；

的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；

③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；

④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．

2a－2＝1，(2)由指数函数定义知所以解得a＝3. a>0，且a≠1，

[答案]

(1)B

(2)C

判断一个函数是指数函数的方法

(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．

(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．

[活学活用] 1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________. 解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，

2a－3a＋3＝1，a＝1或a＝2，可得解得∴a＝2. a＞0，且a≠1，a＞0，且a≠1，

答案：2 指数型函数的定义域和值域

[例2]

求下列函数的定义域和值域：

2－|x|1(1)y＝2；(2)y＝3；(3)y＝

x－41x1－2. 11≠0，∴2x－4x－4[解]

(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵≠1，∴y＝21的值域为{y|y＞0，且y≠1}．

x－4(2)定义域为R. 2－|x|3|x|30∵|x|≥0，∴y＝3＝2≥2＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．

1x1x≤1＝10，(3)由题意知1－≥0，∴∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0222∴x≥0，1x∴2≤1. 1x1x≤1.∴0≤1－1x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．

又∵＞0，∴0＜222

指数型函数的定义域、值域的求法

(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝fax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．

(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

[活学活用] 2．求下列函数的定义域、值域：

1x-2-2x-31(1)y＝35x－1；(2)y＝. 解：(1)由5x－1≥0，得x≥，

251x≥.由5x－1≥0，得y≥1，

所以所求函数的定义域为x5

所以所求函数的值域为[1，＋∞)．

(2)定义域为R. 121－41x-2-2x-3∵x－2x－3＝(x－1)－4≥－4，∴2x－2x－3≤2＝16.又∵2＞0，

221x-2-2x-3∴函数y＝2的值域为(0,16]. 指数型函数图象

题点一：指数型函数过定点问题

1．函数y＝ax3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．

－

解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax3＋3－

中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax3＋3的图象过定点(3,4)．

－答案：(3,4) 题点二：指数型函数图象中数据判断

2．函数f(x)＝ax

－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a＞1，b＜0

C．0＜a＜1，b＞0

B．a＞1，b＞0 D．

0＜a＜1，b＜0 解析：选D

从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. 题点三：作指数型函数的图象

3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x. 解：如图．

(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；

(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

指数函数图象问题的处理技巧

(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．

(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．

层级一

学业水平达标

1．下列函数中，指数函数的个数为(

)

1 x－1xx①y＝

2 ；②y＝a(a>0，且a≠1)；③y＝1；

1 2x④y＝

2 

－1. A．0个

C．3个

B．1个

D．4个

解析：选B

由指数函数的定义可判定，只有②正确．

2．函数y＝2x－1的定义域是(

) A．(－∞，0)

C．[0，＋∞)

B．(－∞，0] D.

(0，＋∞) 解析：选C

由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0. 3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax1－1的图象一定过点(

) ＋A．(0,1)

C．(－1,0)

B．(0，－1) D.

(1,0) 解析：选C

当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．

4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(

)

解析：选A

当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A. 5．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则(

)

A．a＜0，b＜0

C．0＜a＜1，b＞1

B．a＜0，b＞0 D.0＜a＜1,0＜b＜1 解析：选C

由图象知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1. 6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______. a－2a＋2＝1，解析：由指数函数的定义得a＋1＞0，a＋1≠1，答案：1 7．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．

2

解得a＝1.

1a＝，a＋b＝5，解析：由已知得0解得2a＋b＝4，－

1b＝3，

1x1－2＋3＝4＋3＝7. 所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝22答案：7 x2，x＜0，8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．

－x－2，x＞0，

解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0,0＜2x＜1，∴－1＜－2x＜0.∴函数－－f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．

答案：(－1,0)∪(0,1) 9．求下列函数的定义域和值域：

1 2x2－22(1)y＝2－1.(2)y＝

3 2x－2. 解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．

1 2x2－2

1 (2)函数y＝

3 的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜

3 

1 2x2－22x－2≤9，所以函数y＝

3 的值域为(0,9]．

21x1x1x1x1x1x1x1－2，，其中a＞0且a≠1. 10．已知函数f(x)＝ax1(x≥0)的图象经过点2(1)求a的值．

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

1112，，所以a2－1＝，则a＝. 解：(1)函数图象经过点2221x－1

1 x－1≤

1 －1＝(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜2

2 

2 2，所以函数的值域为(0,2]．

层级二

应试能力达标

1．函数y＝16－4x的值域是(

) A．[0，＋∞)

C．[0,4)

B．[0,4] D．(0,4) 解析：选C

要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y＝

16－4x的值域为[0,4)．

x-1x2．函数y＝2－1的定义域、值域分别是(

) B．{x|x≠0}，{y|y＞－1} A．R，(0，＋∞)

x-1xC．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1}

D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0} 解析：选C

要使y＝2x－1x－11－1有意义，只需x有意义，即x≠0.若令u＝x＝1－x，x-1x则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2－1＞0－1＝－1，∴函数y＝2x-1x－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}．

1x3．函数f(x)＝πx与g(x)＝π的图象关于(

) A．原点对称

C．y轴对称

B．x轴对称

D．.直线y＝－x对称

－x解析：选C

设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π1xx＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝π与g(x)π1x＝π的图象关于y轴对称，选C. 4．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(

)

解析：选C

由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.

3 5－＝，则f(x)＝________. 5．已知函数f(x)是指数函数，且f

2 25解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，

--

3 5－＝得，a2＝52－2＝52，∴a＝5，∴f(x)＝5x. 由f 

2 25313答案：5x

6．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．

解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0. 答案：[1，＋∞)∪{0}

1|x|7．已知函数f(x)＝3－1. (1)作出f(x)的简图；

(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．

1x－1，x≥0，解：(1)f(x)＝3如图所示．

3x－1，x＜0，

1(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两3个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．

8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x1－9x的最大值和最小值．

＋1解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x3＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.

第二课时

指数函数及其性质的应用(习题课)

利用指数函数的单调[例1]

比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5和1.53.2；

(2)0.6－1.2

和0.6－1.5；

(3)1.50.3和0.81.2. [解]

(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.

比较指数式大小的三种类型及处理方法

[活学活用] 1．比较下列各题中两个值的大小．

(1)0.8－0.1,1.250.2；

(2)1.70.3,0.93.1. 解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8即0.8－0.1－0.2＞0.8－0.1，＜1.250.2. (2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1. 解简单的指数不等式

[例2]

求解下列不等式：

1－0.5(1)已知3x≥3，求实数x的取值范围．

(2)若a－5x

＞ax7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．

＋1－0.50.5x1－0.5x0.5x[解]

(1)因为＝3，所以由3≥可得：3≥3，因为y＝3为增函数，故x≥0.5.

33(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x－5x＞ax＋77可得－5x＜x＋7，解得x＞－. 6＞ax＋77可得－5x＞x＋7，解得x＜－.综上，

677当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－. 66

指数型不等式的解法

(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：

当a＞1时，f(x)＞g(x)；

当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进1x－行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，ax＝a(a＞0，且a≠1)等．

[活学活用] 1x2－22．解不等式：2≤2. 21x2－22－x22－x2－1x－2解：∵2＝(2)＝2，∴原不等式等价于2≤21.∵y＝2x是R上的增

函数，∴2－x2≤1，∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}. 指数型函数的单调性

12

[例3]

判断f(x)＝3x－2x的单调性，并求其值域．

1u[解]

令u＝x2－2x，则原函数变为y＝3. 1u∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝3在(－∞，＋∞)上递减，

1x2－2x∴y＝3在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

1u∴y＝3，u∈[－1，＋∞)，

1u1－1∴0＜3≤3＝3，

∴原函数的值域为(0,3]．

[一题多变] 1．[变条件]本例中“x∈R”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．

解：由本例解析知，又x∈[－1,2]，

12∴f(x)＝3x－2x(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．

∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、1－113＝1.∴函数f(x)的值域为1，3. 最小值分别为f(1)＝＝3，f(－1)＝3327272．[变设问]在本例条件下，解不等式f(x)＜f(1)．

121－1，∴x2－2x＞－1，∴(x－1)2＞0，∴x≠1，

解：∵f(x)＜f(1)，即x－2x＜33∴不等式的解集为{x|x≠1}．

函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．

指数函数的实际应用

[例4]

某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．

[解]

现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；

经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；

…

经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．

故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.

解决指数函数应用题的流程

(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．

(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．

(3)解模：运用数学知识解决问题．

(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．

[活学活用] 3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．

解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．

－答案：19

层级一

学业水平达标

1．下列判断正确的是(

) A．2.52.5＞2.53

C．π2＜π2

∴0.90.3＞0.90.5. 2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(

) 1，＋∞

A.210，

B.2

B．0.82＜0.83

D．0.90.3＞0.90.5

解析：选D

∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，

1－∞，

C.211－，

D.22110，. 解析：选B

由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是2212a＋113－2a3．若2＜2，则实数a的取值范围是(

) A．(1，＋∞)

C．(－∞，1)

1B.2，＋∞

1－∞，

D.21x解析：选B

∵函数y＝2在R上为减函数，

1∴2a＋1＞3－2a，∴a＞. 24．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(

)

B．f(－1)＞f(－2) D. f(－2)＞f(2) A．f(－2)＞f(－1)

C．f(1)＞f(2)

1－|x|1－|x|解析：选A

f(2)＝a2＝4，a＝，f(x)＝＝2，则f(－2)＞f(－1)．

2211－x5．函数y＝2的单调递增区间为(

) A．(－∞，＋∞)

C．(1，＋∞)

解析：选A

定义域为R. 1u设u＝1－x，y＝2，

∵u＝1－x在R上为减函数，

1uy＝2在(－∞，＋∞)上为减函数，

11－x∴y＝2在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A. 6．若－1＜x＜0，a＝2x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．

－

B．(0，＋∞) D. (0,1) 解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2x＞1,0.2x＞1，又－因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c. 答案：b＜a＜c

7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．

解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，

∴t＝1或t＝－2. ∵t＞0，∴t＝－2舍去．

∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0. 答案：0 8．函数y＝3x2－2xx的值域为________．

解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，

u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

1－所以y＝3u≥31＝，

3所以函数y＝3x2－2x1的值域是3，＋∞. 1答案：3，＋∞

9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．

解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)1x12x－1＜13x，所以2x的图象关于y轴对称，所以g(x)＝，因此g(2x－1)＜g(3x)，即222－1＞3x，解得x＜－1. 10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a2＋2a1－1＝14，－－11解得a＝.综上所述，a＝3或. 33层级二

应试能力达标

1．已知f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(

) －A．a＞0

C．a＜1

B．a＞1 D．0＜a＜1 解析：选D

∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，

1x－又f(x)＝ax＝a，

1－21－3∴a＞a，

1∴a＞1，∴0＜a＜1. 2．已知函数f(x)＝a2x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(

) －A．是增函数

B．是减函数

C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数

D．.当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数

解析：选A

令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A. 3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(

) 3A．6

B．1

C．3

D.

2解析：选C

函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3. －x＋3a，x＜0，4．函数f(x)＝x(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围a，x≥0

是(

) A．(0,1)

10，

C.31，1

B.320，

D.3解析：选B

由单调性定义，f(x)为减函数应满足：

0＜a＜1，1即≤a＜1，故选

033a≥a，

B. 11－x25．函数f(x)＝2的单调递增区间为________．

11－x21解析：由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，211－x2f(x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可211－x2知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数．所以函数f(x)＝2的单调递增区间为[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞) 6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1x，则x的取值范围是________．

－17a＋2＋>1，

解析：∵a2＋a＋2＝24∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．

1∴x>1－x.即x>. 21答案：2，＋∞

7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：

(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．

(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解：(1)1年后该城市人口总数为：

y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；

2年后该城市人口总数为：

y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2；

3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；

…

x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10

＝100×1.01210≈112.7(万人)．

118．设函数f(x)＝－x，

22＋1(1)证明函数f(x)是奇函数；

(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；

(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．

解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．

1－2x2x11111f(－x)＝－＝－x＝x＝－＋x＝－f(x)，

2122＋122＋122＋1＋12x所以函数f(x)为奇函数．

(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，

2x1－2x21111则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝. 22x1＋122x2＋12x1＋12x2＋1因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．

(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，

所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，

1所以f(x)min＝f(1)＝，

6f(x)max＝f(2)＝3. 10

13所以函数f(x)在[1,2]上的值域为6，10.