实习作业设计意图

函数的单调性与导数

一、教学目标：[来源:学§科§网Z§X§X§K]

1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；

2．会用导数判断或证明函数的单调性；

3．通过对可微函数单调性的研究，加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力，增强学生数形结合的思维意识．

二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用．

教学难点：灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程

1．复习引入

问题1

对于函数yf(x)x24x3，利用函数单调性的定义讨论它在R上的单调性．（此题是教科书中引例的变式．多媒体展示）

教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．

略解：对任意x1x2R，有y1y2f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x24)．

当x1x22时，有y1y20，知f(x)在其中是减函数；

当2x1x2时，有y1y20，知f(x)在其中是增函数．

2．新授

（多媒体画面中，问题1的解答消失，问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点(x0,f(x0))处的切线随x0变化的动画．给出问题2）

问题2

对于函数f(x)x4x3，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？

从动画中学生不难看出：在区间(2,)内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间(,2)内，函数为减函数，切线的斜率为负；在x2时，函数的切线的斜率为0．

2

（画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）

问题3

对于函数yf(x)x24x3，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？

因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间(2,)内导数为正；在区间(,2)内导数为负；在x2时，函数的切线的斜率为0．

分段展示结论：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数．

特别说明第三点：f(x)在某区间内为常数，当且仅当f(x)0在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行）．

3．例题与练习

例1

（展示教科书上的例1）

题解可引导学生自己完成，教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生，f(1)0,f(x)在x1处改变了增减性，f(x)改变了正负符号，为下一节的学习作铺垫．

练习：教科书第134页练习1．

学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略）

例2

（展示教科书上的例2）

师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在x1和x2处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下f(x)为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）

特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．

练习2教科书习题

补充练习1函数f(x)x3x5的单调递增区间是_____________．

略解：由f(x)3x6x3x(x2)0，得增区间为(,0)与(2,)．

232

补充练习2

已知函数f(x)2x33x212x3，则函数f(x)在（－2，1）内是（

）

A．单调递减

B．单调递增

C．可能递增也可能递减

D．以上都不成立

略解：当x(2,1)时，有f(x)6(x2)(x1)0，递减．故选A．

补充练习3

已知函数f(x)xlnx，则（

）

A．在(0,)上递增

B．在(0,)上递减

C．在0,上递增

D．在0,上递减

[来源学科网ZXXK]1e1e[来源学&科&网Z&X&X&K]

略解：当x0,时，f(x)lnx10，递减．故选D．

补充练习4

函数yexx1的递减区间是_______________．

略解：要使yex10，只需x0，故递减区间为(,0)．

补充练习5

证明函数y增．[来源学#科#网Z#X#X#K]1e2xx2在区间（0，1）上单调递减，而在区间（1，2）上单调递

略证：由y1x，在（0，1）上y0，增；在（1，2）上y0，减．

x(2x)

补充练习6

讨论函数yx2sinx在(0,2)内的单调性．

略解：因y12cosx，由y0，得减．

4．归纳小结

（1）函数导数与单调性的关系：f(x)0时，增函数；f(x)0时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．

（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．

五、布置作业

教科书习题3.7第1、2题

3x55，增．由y0，得0x，x2，333

课外研究题

1．设函数f(x)x21ax，其中a0，求a的取值范围，使函数f(x)在(0,)上是单调函数．（2000年全国高考题）

略解：f(x)xx12a，其中a0且x(0,)时，xx12(0,1)使函数f(x)在(0,)上是单调必然；f(x)0，知a1．

2．当x0时，证明不等式解：作函数f(x)xln(1x)x成立．1x[来源:Zxxk.Com]

xxln(1x)，当x0时，f(x)0，知f(x)单调递减；1x(1x)2当x0时，f(x)0．知f(x)在x0时，f(x)0．

1x)x，当x0时，g(x)作g(x)ln(x0，知g(x)单调递减；当x0时，1xg(x)0．知g(x)在x0时，g(x)0．综上获证．