小结教学实录

函数的应用

小结

——函数与方程

3零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)·f(b)<0 ，那么函数y＝f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 4.

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

练习：

1、判断

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(

)

(

)

(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点。(

) 2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x

1

2

3

4

5

f(x)

－4

－2

1

4

7

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为A．(1,2)C．(3,4)小结：

1.函数的零点不是点：

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

2．对函数零点存在的判断中，必须强调：

(1)f(x)在[a，b]上连续；

(2)f(a)·f(b)<0；

(3)在(a，b)内存在零点．

这是零点存在的一个充分条件，但不必要．

3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

二、题型探究

题型一

函数零点所在区间

[ 例1]设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(

)

A．(－1,0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(2,3) 小结：

利用定理法判断零点所在的区间：

首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

题型二

函数零点的个数

练习：函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点有

(

) A．0个

12B．1个

C．2个 x

D．3个

1[例2]

(1)函数f(x)＝x－的零点的个数为

2A．0

B．1

C．2

2x＋x－2，x≤0，（2）函数f(x)＝的零点个

－1＋ln x，x>0(

)

D．3

数为

A．3

(

) B．2

C．7

D．0

小结：

判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

题型三

函数零点的应用

练习：1、函数f（x）x22axa有两个零点，则a的范围是______ x12、函数y＝2－m有两个零点，则m的取值范围是_______．

ex＋a，x≤0，例3已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R内有两个零点，则a的取3x－1，x>0

值范围是(

) A．(－∞，－1) C．(－1,0) B．(－∞，0) D．[－1,0)

小结：

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

思考题：

ex，x≤0，(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，ln x，x＞0，

则a的取值范围是

A．[－1,0)

C．[－1，＋∞)

(

)

B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 三、课堂总结

本节课复习了函数的应用这一节当中函数与方程这一部分，跟大家一起探究了相关题型的解法，其中数形结合法是很重要的一种方法，也是用得较多的方法。

四、作业设计