阅读与思考 集合中元素的个数优秀教案范文

人教版高中数学必修1精品教案(整套) 课题：集合的含义与表示(1)

课

型：新授课

教学目标：

（1）

了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

（2）

理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3）

掌握常用数集及其记法；

教学重点：掌握集合的基本概念；

教学难点：元素与集合的关系；

教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容

二、新课教学

（一）集合的有关概念

1.

集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.

思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）

大于3小于11的偶数；

（2）

我国的小河流；

（3）

非负奇数；

（4）

方程x210的解；

（5）

某校2007级新生；

（6）

血压很高的人；

（7）

著名的数学家；

（8）

平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）

全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.

关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

5.

元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4A，等等。

6．集合与元素的字母表示：

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“”符号填空：

（1）8

N；

（2）0

N；

（3）-3

Z；

（4）2

Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国

A，美国

A，印度

A，英国

A。

例2．已知集合P的元素为1,m,m23m3,

若3∈P且-1P，求实数m的值。

（三）课堂练习：

课本P5练习1；

归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。

作业布置：

1．习题1.1，第1- 2题；

2．预习集合的表示方法。

课后

课题：集合的含义与表示(2) 课

型：新授课

教学目标：

（1）了解集合的表示方法；

（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：掌握集合的表示方法；

教学难点：选择恰当的表示方法；

教学过程：

一、复习回顾：

１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。

２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系

二、新课教学

（一）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考

虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开；

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；

x2y0;（4）方程组的解组成的集合。

2xy0.

思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{

}内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：xAp(x)

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

1．课本P5最后一段话；

2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与

{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{

}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

xy3;（3）方程组的解。

xy1.

思考3：（课本P6思考）

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（二）．课堂练习：

１．课本P6练习2；

２．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

３．集合A＝{x|4∈Z，x∈N}，则它的元素是 。

x3４．已知集合A＝{x|-3

归纳小结：

本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

作业布置：

1．

习题1.1，第３．4题；

2．

课后预习集合间的基本关系. 课后记:

课题：集合间的基本关系

课 型：新授课

教学目标：

（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；

（4）了解空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清楚属于与包含的关系。

教学过程：

一、复习回顾：

1.提问：集合的两种表示方法？

如何用适当的方法表示下列集合？

（1）10以内3的倍数；

（2）1000以内3的倍数

2.用适当的符号填空：

0

N；

Q；

-1.5

R。

思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

二、新课教学

（一）. 子集、空集等概念的教学：

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1）A{1,2,3}，B{1,2,3,4,5}；

（2）C{汝城一中高一 班全体女生}，D{汝城一中高一 班全体学生}；

（3）E{x|x是两条边相等的三角形}，F{xx是等腰三角形}

由学生通过观察得结论。

1．

子集的定义：

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：

AB(或BA)

读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 当集合A不包含于集合B时，记作AØB

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中AB

A

B 2．

集合相等定义：

如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若AB且BA，则AB。

如（3）中的两集合EF。

3．

真子集定义：

若集合AB，但存在元素xB,且xA，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作：

A

B（或B A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

如：（1）和（2）中A

B，C

D；

4．

空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：。

用适当的符号填空：



0；

0

；



；

0



思考2：课本P7 的思考题

5．

几个重要的结论：

（1）

空集是任何集合的子集；

（2）

空集是任何非空集合的真子集；

（3）

任何一个集合是它本身的子集；

（4）

对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。

说明：

1．

注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含

于”的关系；

2．

在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

（二）例题讲解：

例1．填空：

（1）．

2

N；

{2}

N；



A;

（2）．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

A

B；

A

C；

{2}

C；

2

C

例2．（课本例3）写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例3．若集合Axx2x60,Bxmx10,

B 

A，求m的值。

11

（m=0或或-）

32例4．已知集合Ax2x5,Bxm1x2m1且AB，

求实数m的取值范围。

（m3）

（三）课堂练习：

课本P7练习1，2，3 归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用Venn图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。

作业布置：

1．

习题1.1，第5题；

2．

预习集合的运算。

课后记:

课题：集合的基本运算㈠

课

型：新授课

教学目标：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握交集与并集的区别与联系；

（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。

教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。

教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。

教学过程：

一、复习回顾：

1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则A

S；{x|x∈S且xA}=

。

2．用适当符号填空：

0

{0}；

0

Φ；

Φ

{x|x2＋1＝0,x∈R}

{0}

{x|x<3且x>5}；

{x|x>6}

{x|x<－2或x>5} ；

{x|x>－3}

{x>2} 二、新课教学

（一）. 交集、并集概念及性质的教学：

思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1）A{1,3,5}，B{2,4,6},C1,2,3,4,5,6；

（2）A{xx是有理数}，B{xx是无理数},Cxx是实数；

由学生通过观察得结论。

6．

并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即

AxB

ABxx,或用Venn图表示：

这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即

AB= C 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝

,

A∪Ф＝

,

A∪B

B∪A

A∪B＝A 

,

A∪B＝B

. 巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝

; ②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝

;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝

。

7．

交集的定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），记作A∩B（读“A交B”）即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）

常见的五种交集的情况：

B

A A(B) A B

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？

A

B A

B A∩A＝

A∩Ф＝

A∩B

B∩A

A∩B＝A 

A∩B＝B

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝

; ②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝

;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝

。

（二）例题讲解：

例1．（课本例5）设集合Ax1x2,Bx1x3，求A∪B．

变式：A＝{x|-5≤x≤8} 例2．（课本例7）设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。

例3．已知集合Axx2mxm2190,Byy25y60



Czz22z80是否存在实数m，同时满足AB,AC？

（m=-2）

（三）课堂练习：

课本P11练习1，2，3 归纳小结：

本节课从实例入手，引出交集、并集的概念及符号；并用Venn图直观地把两个集合之间的关系表示出来，要注意数轴在求交集和并集中的运用。

作业布置：

3．

习题1.1，第6，7；

4．

预习补

课题：集合的基本运算㈡

课

型：新授课

教学目标：

（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义，

（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“CUA”的涵义； （3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。

教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。

教学难点：补集的概念。

教学过程：

一、复习回顾：

1．

提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？

2．

提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？

3．

交集和补集的有关运算结论有哪些？

4．

讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B与R有何关系？

二、新课教学

思考1．

U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

由学生通过讨论得出结论：

集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。

（一）. 全集、补集概念及性质的教学：

8．

全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

9．

补集的定义：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集（complementary set），记作：CUA，

读作：“A在U中的补集”，即

CUAxxU,且xA

用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

讨论：集合A与CUA之间有什么关系？→借助Venn图分析

AC

,AUCA,UU(CUC)AAUACUU,CUU

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则CUA=

，CUB=

；

②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则CUA＝

；

③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则CUA＝

。

（二）例题讲解：

2，3，B3，4，5，6，例1．（课本例8）设集Uxx是小于9的正整数,A1，求CUA，

CUB．例2．设全集Uxx4,集合Ax2x3,Bx3x3，求CUA，

AB，AB,CU(AB),(CUA)(CUB),(CUA)(CUB),CU(AB)。

（结论：CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)）

例3．设全集U为R，Axx2px120,Bxx25xq0，若



(CUA)B2,A(CUB)4，求AB。

（答案：2,3,4）

（三）课堂练习：

课本P11练习4 归纳小结：

补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn图）。

作业布置：

习题1.1A组，第9，10；B组第4题。

课后记

课题：集合复习课

课

型：新授课

教学目标：

（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；

（2）掌握集合的有关术语和符号；

（3）运用性质解决一些简单的问题。

教学重点：集合的相关运算。

教学难点：集合知识的综合运用。

教学过程：

一、复习回顾：

1．

提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？

2．

提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？

3．

提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？

3．

交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？

4．

集合问题的解决方法：Venn图示法、数轴分析法。

二、讲授新课：

（一）

集合的基本运算：

例1：设U=R，A={x|-5

(CUA)∩(CUB)、(CUA)∪(CUB)、CU(A∪B)、CU(A∩B)。

（学生画图→在草稿上写出答案→订正）

说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：全集U={x|x<10，x∈N}，AU，BU，且（CUB）∩A={1,9}，A∩B={3}，（CUA)∩(CUB)={4,6,7}，求A、B 说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。

（二）集合性质的运用：

例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值。

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a

（）巩固练习：

1．已知A={x|-21}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1

2．P={0,1}，M={x|xP}，则P与M的关系是

。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为

人。

4．满足关系{1,2}A{1,2,3,4,5}的集合A共有

个。

5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少个元素？

6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7．设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8．集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q。

9．

A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B。

10．已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当AB时，求实数m的取值范围。

归纳小结：

本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关概念，表示方法及其有关运算，并进一步巩固了Venn图法和数轴分析法。

作业布置：

5．

课本P14习题1.1 B组题；

6．

阅读P14～15

材料。

课后记:

课题：函数的概念（一）

课

型：新授课

教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1．

讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课：

（一）函数的概念：

思考1：（课本P15）给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？

三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

f:AB

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

yf(x),xA

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数yax2bxc

(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域4acb24acb2Byy；当a﹤0时，值域Byy。

4a4ak

（3）反比例函数y(k0)的定义域是xx0，值域是yy0。

x（二）区间及写法：

设a、b是两个实数，且a

（1）

满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）

满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

或axb（3）

满足不等式axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为a,b,a,b；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为a,,a,,

,b,,b。

巩固练习：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} （学生做，教师订正）

（三）例题讲解：

例1．已知函数f(x)x22x3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数yx22x3,x{1,0,1,2}的值域

1例2．已知函数f(x)x3，

x22（1）

求f(3),f(),ff3的值；

3（2）

当a>0时，求f(a),f(a1)的值。

（四）课堂练习：

1．

用区间表示下列集合：

xx4,xx4且x0,xx4且x0,x1,xx0或x2

2．

已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

3．

课本P19练习2。

归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

作业布置：

习题1.2A组，第4，5，6；

课后记

课题：函数的概念（二）

课

型：新授课

教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

（2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：复合函数定义域的求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什x么？

2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax2＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。

二、讲授新课：

（一）函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

⑴

f(x)=x3x22kx；

⑵

f(x)=2x9；

⑶

f(x)=x1－x；

2x学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

说明：求定义域步骤：列不等式（组）

→

解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；

求法：由a

例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：

（1）f(x)1x11；

（2）f(x)

1x41x2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x21)的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

（二）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y(x)2；

（2）y3x3；

x2（3）yx；

（4）

y

x三）课堂练习：

1．课本

P19练习1，3；

2．求函数y＝－x2＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。

归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。

作业布置：

习题1.2A组，第1，2；

课后记: 课题：函数的表示法（一）

课

型：新授课

教学目标：

（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

结合课本P15

给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；

列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P19

例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2：（课本P20

例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

98 87 91 92 88 95 甲

90 76 88 75 86 80 乙

2

68 65 73 72 75 82 丙

班平均88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 分

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

（二）分段函数的教学：

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：（课本P21

例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

例4．已知f(x)＝2x3,x(,0)22x1,x[0,)，求f(0)、f[f(-1)]的值

（三）课堂练习：

1．课本P23

练习1，2；

2．作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

3．某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y（元）之间的函数y=f(x)。

归纳小结：

本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。

作业布置：

课本P24习题1.2 A组第8，9题；

课后记: 课题：函数的表示法（二）

课

型：新授课

教学目标：

（1）了解映射的概念及表示方法；

（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。

教学重点：求函数的解析式。

教学难点：对函数解析式方法的掌握。

教学过程：

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）。

二、讲授新课：

（一）

映射的概念教学：

定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。记作：

f:AB

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．（课本P22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

（1）

集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）

集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B= (x,y)xR,yR，对应关系f：

平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）

集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）

集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

（二）求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。

（待定系数法）

例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

1例5．已知函数f(x)满足f(x)2f()x，求函数f(x)的解析式。（消去法

x例6．已知f(x)x1，求函数f(x)的解析式。

（三）课堂练习：

1．课本P23练习4；

1x1x2)

2．已知

f(，求函数f(x)的解析式。

21x1x11

3．已知f(x)x22，求函数f(x)的解析式。

xx

4．已知f(x)2f(x)x1，求函数f(x)的解析式。

归纳小结：

本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。

作业布置：

7．

课本P24习题1.2B组题3，4；

8．

阅读P26

材料。

课后记: 课题：函数的表示法（三）

课

型：新授课

教学目标：

（1）进一步了解分段函数的求法；

（2）掌握函数图象的画法。

教学重点：函数图象的画法。

教学难点：掌握函数图象的画法。。

教学过程：

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。

2. 讨论：函数图象有什么特点？

二、讲授新课：

例1．画出下列各函数的图象：

（1）f(x)2x2　　(2x2)

（2）f(x)2x24x3　　(0x3)；

例2．（课本P21例5）画出函数f(x)x的图象。

例3．设x,，求函数f(x)2x13x的解析式，并画出它的图象。

变式1：求函数f(x)2x13x的最大值。

变式2：解不等式2x13x1。

例4．当m为何值时，方程x24x5m有4个互不相等的实数根

变式：不等式x24x5m对xR恒成立，求m的取值范围。

（三）课堂练习：

1．课本P23练习3；

1(0x1)，　

2．画出函数f(x)x的图象。

(x1)x，　归纳小结：

函数图象的画法。

作业布置：

课本P24习题1.2A组题7，B组题2；

课后记: 课题：函数及其表示复习课

课

型：复习课

教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域和值域；

（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；

（3）会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。

教学难点：对函数记号的理解。

教学过程：

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程

→

指出题型解答方法）

1．说出下列函数的定义域与值域：

y2．已知f(x)81；

yx24x3；

y2；

x4x33x51，求f(2)，

f(f(3))，

f(f(x))；

x10(x0)3．已知f(x)(x0)，

x1(x0)（１）作出f(x)的图象；

（２）求f(1),　f(1),　f(0),　f{f[f(1)]}的值

二、讲授典型例题：

例１．已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,

求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．

例2．求下列函数的定义域：

（１）y(x1)0x24；

（２）y2；

x2x3xx2的定义域为Ｒ，求实数a的取值范a1例３．若函数y(a21)x2(a1)x围．

（a1,9）

例４．

中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y2（元）．

（１）．写出y1,y2与x之间的函数关系式？

（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

三．巩固练习：

11．已知f(x)=x2x+3 ，求：f(x+1)，

f()的值；

x2．若f(x1的解析式；

）x2x,求函数f(x）3．设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．

４．已知函数f(x)3x1的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．

2axax33归纳小结：

本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．

作业布置：

9．

课本P２４习题1.２

B组题１，３；

10．

预习函数的基本性质。

课后记: 课题：单调性与最大（小）值

（一）

课

型：新授课

教学目标：

理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）

二、讲授新课：

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、

f(x)＝x2

(x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？

当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→

区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

2.教学增函数、减函数的证明：

例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

1、

例题讲解

例1（P29例1）

如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律pk（k为正常数），告诉我们对于一定量的气V体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明. 2例3．判断函数y在区间[2，6] 上的单调性

x1三、巩固练习：

1.求证f(x)＝x＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

2.判断f(x)=|x|、y=x3的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x2－2x的单调性。

推广：二次函数的单调性

4.课堂作业：书P32、

2、3、4、5题。

四、小结：

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1

→计算f(x1)－f(x2)至最简→判断差的符号→下结论。

五、作业：P39、1—3题

课后记：

课题：

单调性与最大（小）值

（二）

课

型：新授课

教学目标：

更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义. 教学重点：熟练求函数的最大（小）值。

教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。

教学过程：

一、复习准备：

1.指出函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax2＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？

3.知识回顾：增函数、减函数的定义。

二、讲授新课：

1.教学函数最大（小）值的概念：

①

指出下列函数图象的最高点或最低点，→

能体现函数值有什么特征？

f(x)2x3，f(x)2x3

x[1,2]；，f(x)x22x1f(x)x22x1x[2,2]

②

定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都1x

有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）

③

探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

→

一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法）

→

试举例说明方法.

2、

例题讲解：

例1（学生自学P30页例3）

2例2．（P31例4）求函数y在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

x1例3．求函数yx1x的最大值

探究：y33的图象与y的关系？

x2x（解法一：单调法；

解法二：换元法）

三、巩固练习：

1. 求下列函数的最大值和最小值：

（1）y32xx2,x[,]；

（2）y|x1||x2|

2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律→建立函数模型→求解最大值）

房价

住房率（%）

（元）

3、

求函数y2xx1的最小值. 160 55 四、小结：

140 65 求函数最值的常用方法有：

120 75 （1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式100 85 与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．

（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

五、作业：P39页A组5、B组1、2

课题：奇偶性

课

型：新授课

教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。

教学重点：熟练判别函数的奇偶性。

教学难点：理解奇偶性。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫增函数、减函数？

2.指出f(x)＝2x2－1的单调区间及单调性。

→变题：|2x2－1|的单调区间

3.对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x)。

二、讲授新课：

1.教学奇函数、偶函数的概念：

5322

①给出两组图象：f(x)x、f(x)、f(x)x3；f(x)x2、f(x)|x|.

发现各组图象的共同特征

→

探究函数解析式在函数值方面的特征

②

定义偶函数：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（even function）. ③

探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义. （如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)），那么函数f(x)叫奇函数。

④

讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）

⑤

练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。

（假如f(x)是奇函数呢？）

1.

教学奇偶性判别：

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f(x)x21xx[1,2]

x3x2（2）f(x)

x1例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4

（2）f(x)x5

（3）f(x)x11

（4）f(x)2．

xx12x1(x0)2（5）

g(x)

（6）y1x2x21

1x21(x0)24、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法）

→

按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。

（小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性：

f(x)＝|x＋1|+|x－1|

、f(x)＝3x2、f(x)＝x＋、

f(x)＝1xx、f(x)＝x2,x∈[-2,3] 21x2.设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝1，求f(x)、g(x)。

x14.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（

）函数，且最

值是

。

四、小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五、作业P39页A组6、B组3 后记：

课题：函数的基本性质运用

课

型：练习课

教学目标：

掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

教学重点：掌握函数的基本性质。

教学难点：应用性质解决问题。

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？

2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、教学典型习例:

1.函数性质综合题型：

①出示例1：作出函数y＝x2－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作

→口答

→

思考：y＝|x2－2x－3|的图像的图像如何作？→

②讨论推广：如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

分析证法

→

教师板演

→

变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）

2. 教学函数性质的应用：

1①出示例

：求函数f(x)＝x＋

(x>0)的值域。

x分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。

→

探究：计算机作图与结论推广

②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？

分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。

2.基本练习题：

2xx(x0)1、判别下列函数的奇偶性：y＝1x＋1x、

y＝2

xx(x0)（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=?

）

2、求函数y＝x＋2x1的值域。

x2单调区间并证明。

x1cxd（定义法、图象法；

推广：

的单调性）

axb3、判断函数y=4、讨论y=1x2在[-1,1]上的单调性。

（思路：先计算差，再讨论符号情况。）

三、巩固练习：

ax2b1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。

（c=0 xc

2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域

3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围

4. 求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。

四、小结：

本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质解题

五、作业P44页A组9、10题B组6题

后记：

课题：指数与指数幂的运算(一)

课

型：新授课

教学目标：

了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念

教学重点：掌握n次方根的求解. 教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景

教学过程：

一、复习准备：

1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（a2、a3）

2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.

→

记法：a,3a

二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景：

①

探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口