小结教案和课堂实录

2.3章末复习课

学习目标：1.能够熟练进行指数、对数的运算

2.进一步理解掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，

3.应用它们的图象和性质解决相关问题

学习重点：1.能够熟练进行指数、对数的运算

2.理解掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，

学习难点：.应用指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质解决相关问题

一．本章知识结构

二．核心归纳，重视基础

1．指数函数的图象和性质

一般地，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.

a>1

0

定义域

R

值域

(0，＋∞) 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；

当x>0时，0

性

当x<0时，0

当x<0时，y>1 质

在(－∞，＋∞) 在(－∞，＋∞) 上是增函数

上是减函数

注意(1)对于a>1与0

(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0

(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．

2．对数函数的图象和性质

a>1

0

定义域是(0，＋∞) 值域是R

当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1,0) 性

质

当x>1时，y>0；

当x>1时，y<0；

当0

当00 在(0，＋∞) 在(0，＋∞) 上是增函数

上是减函数

3．指数函数与对数函数的关系

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．(如图)

4．幂函数的性质

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数．(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．

三．类型剖析，突破难点

类型一.指数与对数的运算

【例1】计算：

(1)2log－log323239＋log38－5log53；

1(2)0.064－3

－741－－－80＋[(－2)3]3

＋160.75＋0.012

. 22解(1)原式＝log×8332－3＝2－3＝－1. 9(2)原式＝3×(1－4×3450.4－3

)－1＋2＋42－1＋111143

＋0.1＝2－16＋8＋10＝80.

规律方法：指数、对数的运算应遵循的原则

(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；

(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．

【训练1】计算：

(1)31－43－120＋0.252

×－12－4；

4(2)log273＋2log0.25＋71－510＋log5log723. 解(1)原式＝－4－1＋12×(2)4＝－3. 3(2)原式＝log34

133＋log72＝log－715(100×0.25)＋7÷7log334

＋log552＋2＝－4＋2＋7212＝4. 类型二

指数函数、对数函数、幂函数的图象问题

【例2】(1)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(

)

(2)当0

) A．02，2

B．22，1

C．(1，2) D．(2，2) 解析(1)由log＋a2<0(a>0，且a≠1)，可得0

(2)∵0

∴0

a2ax，

a2>x

201解得

2

答案(1)A(2)B 规律方法：函数图象及应用

(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．

(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．

2【训练2】(1)函数y＝xx<0，2x－1x≥0

的图象大致是(

)

(2)已知a>0且a≠1，函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是________．

解析(1)当x<0时，y＝x2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C和D；当x≥0时，y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向下平移一个单位得到，故排除A，选B．

(2)当a>1时，在同一坐标系中作出函数y＝|ax－2|和y＝3a的图象，因为a>1，所以3a>3，故两函数图象只有一个交点．

当0

综上所述，a的取值范围是0，23. 答案(1)B(2)0，23

类型三.比较大小问题

【例3】(1)设a＝log2π，b＝log1

π，c＝π－2，则(

) 2A．a>b>c

B．b>a>c C．a>c>b

D．c>b>a

解析

因为π>2，所以a＝log所以b＝log1

π<0.因为π>1，所以0<π－2π>1，22<1，即0c>b. 答案

C 1(2) 设a＝log1

3，b＝10.2，c＝23

，则(

) 23A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c

解析

a＝log1

3＜0,0＜b＝130.2＜1，c＝2

＞1，

2故有a＜b＜c. 答案

A 规律方法:数(式)的大小比较常用的方法及技巧

(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．

(2)常用的技巧：

①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

【训练3】

(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(

) A．a>b>c

B．b>a>c C．b>c>a

D．c>b>a

方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．

10.3(2)设a＝log1

2，b＝log1

3，c＝3，则(

) 32A．a

B．a

D．b

解析

(1)∵a＝log20.320＝1,0c>a.故选C．

10.3(2)∵a＝log1

2<0，b＝log1

3<0，log1

3

2

2，c＝3>0.∴32223b

答案

(1)C (2)D 课后小结：1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想