小结特级教师教学实录

§2.3 幂函数

一．教学目标：

1．知识技能

（1）了解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

（3）学会研究函数图象和性质的一般方法。

2．过程与方法

类比研究指数函数、对数函数学习过程，掌握幂函数的图象和性质。

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。

二、教学重难点：

1、重点：幂函数的概念和性质；

2、难点：函数指数的推广及性质的归纳。

三、教学辅助工具：

PPT课件，几何画板。

四、教学过程：

（一）创设情景

前面我们学习了函数的定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，今天，我们利用学习指数函数、对数函数的方法，再来认识一位新成员。

1、如果正方形的边长为x，那么正方形的面积是y= ，y是x的函数。 2、如果正方体的边长为x，那么正方体的体积是y

= ，y是x的函数。

3、如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y= ，y是x的函数。

4、如果某人xs内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度y= km/s，y是x的函数。 思考：上述函数解析式有什么共同特征？

答：（1）都是函数；

（2）均是以自变量为底的幂；

（3）指数均为常数；

（4）自变量前的系数为1。

（二）新课导入

1、幂函数的定义：

一般地, yx

叫做幂函数,其中x是自变量,是常数。

2、幂函数与我们之前学过的哪种函数在形式上接近？

3、幂函数与指数函数有什么区别？

答：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点是看未知数x是做底数还是做指数，若是做底数则是幂函数；若是做指数则是指数函数。

设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点。

（三）小试牛刀

1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？

①yx2

②y2x

③yx

④y(x1)3

⑤y112yx

⑥

x2x2、

已知函数fxm2m1xm是幂函数，则实数m的值等于_____. 3、

已知幂函数f(x)的图象过点(3,2)，则f(x)______.

（四）自主探究

1、请在同一坐标系内画出幂函数yx，yx，yx，yx，yx1的图象。

2312 12

2312、观察图象，讨论归纳幂函数yx；yx；yx；yx；yx的

性质。

定义域

值

域

奇偶性

单调性

yx

yx

2yx

3yx

12yx1

定

点

（五）合作探究

归纳幂函数的性质：

(1)幂函数yx图象过定点 。

（2）函数yx、yx3、yx1是奇函数，函数yx2是偶函数

(3)幂函数yx,在第

象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第

象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。

在区间(0,)上，函数yx、yx2、yx3和yx是增函数，函数yx1是减函数。

推广：当>0时，函数yx在第一象限是增函数，当<0时，函数yx在第一象限是减函数. （4）在第一象限，函数yx1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近

设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数；让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格；进而归纳幂函数的性质。

（六）反馈演练

例1、

证明幂函数f(x)x在[0,]上是增函数

证：任取x1,x2[0,),且x1＜x2则

f(x

f(x1)2)1xx

2

=(x1x2)(x1x2)x1x2

=x1x2

x1x2

因x1x2＜0，x1x2＞0

所以f(x1)f(x2)，即f(x)x在[0,]上是增函数.

例2、

比较下列各组中两个值的大小：

312321（1）与

；（2）与；（3）与

53435312121211213（4）()与．

243412例3、已知幂函数y(m2m1)xm2m3在(0,)上是减函数，求m的取值.

例题的设计意图：

例题1复习函数单调性的证明步骤，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解.例题3学会利用幂函数的性质来解题.

（七）总结提炼

1、谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？

2、幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？

（八）课后作业

必做题：课本P79习题2.3 第2、3题；

选做题：P82复习题A组第10题。

2五、板书设计：

§2.3幂函数

一、幂函数定义/结构

例子：

二、幂函数的性质

三、运用

应用：练习