习题1.2课件配套优秀公开课教案设计

1．2.1

函数的概念

1．函数的概念

(1)函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域与值域：

函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

[点睛]

对函数概念的3点说明

(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．

(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．

(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

2．区间概念(a，b为实数，且a＜b) 定义

{x|a≤x≤b}

{x|a＜x＜b}

{x|a≤x＜b}

{x|a＜x≤b}

3．其它区间的表示

定义

符号

[点睛]

关于无穷大的2点说明

(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．

(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．(

) (2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．(

) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(

) R

(－∞，＋∞)

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|x＜a} (－∞，a) 名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

符号

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

数轴表示

(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．(

) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2．函数y＝1的定义域是(

) x＋1

B．[－1,0)

D．(－1,0) A．[－1，＋∞)

C．(－1，＋∞) 答案：C 3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝(

) A．2

B．3

C．4

D．5 答案：D 4．用区间表示下列集合：

(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．

(2){x|x>1}用区间表示为________．

答案：(1)[10,100]

(2)(1，＋∞)

[例1]

(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

函数的判断

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(

) A．0

C．2

B．1

D．3 (2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

①

f：把x对应到3x＋1；

②

g：把x对应到|x|＋1；

1③

h：把x对应到x；

④

r：把x对应到x. (1)[解析]

①中，因为在集合M中当1

B (2)[解]

①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一

x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．

同理，②也是实数集R上的一个函数．

1③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．

x④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在．

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．根据图形判断对应是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

[活学活用] 1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(

) A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：

C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1

x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1 解析：选B

A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数. 相等函数

[例2]

下列各组函数中是相等函数的是(

) x2－1A．y＝x＋1与y＝

x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1

C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2

[解析]

对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．

[答案]

B

判断函数相等的方法

判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则．

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

[活学活用] 2．下列各组式子是否表示同一函数？为什么？

(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；

(2)y＝x2，y＝(x)2；

(3)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2；

(4)y＝3－x2，y＝x－3. 解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．

(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．

(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1－x2的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与y＝1－x2是同一函数．

(4)∵y＝3－x2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，

∴y＝3－x2与y＝x－3不是同一函数. 求函数的定义域

[例3]

求下列函数的定义域：

x＋125－x(1)y＝－1－x；(2)y＝. x＋1|x|－3

x＋1≠0，[解]

(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

1－x≥0.

解得x≤1，且x≠－1，

即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

5－x≥0，(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

|x|－3≠0，

解得x≤5，且x≠±3，

即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

[活学活用] 3．求下列函数的定义域：

3(1)y＝2＋；

x－2(2)y＝3－x·x－1；

(3)y＝(x－1)0＋

2. x＋13有意义，所以这个函数的定义x－2解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋域为{x|x≠2}．

3－x≥0，(2)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为x－1≥0.

{x|1≤x≤3}．

x－1≠0，2(3)函数有意义，当且仅当x＋1≥0，x＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.

求函数值和值域

[例4]

(1)已知f(x)＝f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：

①y＝x＋1；

②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

③y＝3x－1；

x＋1

1(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，1＋x④y＝2x－x－1. (1)[解析]

∵f (x)＝∴f(2)＝11＝. 1＋231，

1＋x又∵g (x)＝x2＋2，

∴g (2)＝22＋2＝6，

∴f ( g(2))＝f (6)＝11[答案]

37(2)[解]

①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R. ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．

11＝. 1＋67

③(分离常数法)y＝∵3x－13x＋3－44＝＝3－. x＋1x＋1x＋14≠0，∴y≠3，

x＋13x－1的值域为{y|y∈R且y≠3}．

x＋1∴y＝115t－2＋，由④(换元法)设t＝x－1，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 4815，＋∞. t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为8

1．函数求值的方法

(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．

(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．

2．求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．

[活学活用] 4．求下列函数的值域：

1－x2(1)y＝2x＋1＋1；(2)y＝. 1＋x2解：(1)因为2x＋1≥0，所以2x＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．

1－x222(2)因为y＝2＝－1＋2，又函数的定义域为R，所以x＋1≥1，

1＋x1＋x2所以0<≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]. 1＋x2

层级一

学业水平达标

1．函数y＝1－x＋x的定义域为(

) A．{x|x≤1}

C．{x|x≥1或x≤0}

B．{x|x≥0}

D．{x|0≤x≤1} 1－x≥0，解析：选D

由题意可知解得0≤x≤1. x≥0，

2．若函数y＝f (x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f (x)

的图象可能是(

)

解析：选B

A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．

3．下列各组函数中，表示同一个函数的是(

) x2－1A．y＝x－1和y＝

x＋1B．y＝x0和y＝1 C．f (x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2

x2xD．f (x)＝x和g(x)＝

x2解析：选D

A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D. x2－1f 24．设f(x)＝2，则＝(

) 1x＋1f 2A．1 3C.

5

B．－1 3

D．－

522－1322＋1535

f 2 解析：选B

＝＝＝×－3＝－1. 1132－1－5f 4

2 212＋15425．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(

) A．y＝x

1C．y＝x

B．y＝1

x

D．y＝x2＋1 1解析：选B

y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1

的值域为[1，＋∞)．

6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．

1解析：由题意知3a－1>a，则a>. 21，＋∞

答案：27．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．

解析：∵x＝1,2,3,4,5，

∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7. ∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．

答案：{－1,1,3,5,7} 8．设f (x)＝1，则f ( f ( x ))＝________. 1－xx－11＝＝x. 11－x－11－1－x1－x1解析：f ( f (x))＝x－1答案：x(x≠0，且x≠1) 9．已知f(x)＝x2－4x＋5. (1)求f (2)的值．

(2)若f (a)＝10，求a的值．

解：(1)由f (x)＝x2－4x＋5，

所以f (2)＝22－4×2＋5＝1. (2)由f (a)＝10，得a2－4a＋5＝10，

即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1. 10．求函数y＝x＋26－2x－1的定义域，并用区间表示．

解：要使函数解析式有意义，需满足：

x＋2≥0，6－2x≥0，6－2x≠1，

x≥－2，x≤3，即5x≠2，

5所以－2≤x≤3且x≠. 25－2≤x≤3且x≠. 所以函数的定义域是x2

55－2，

∪，3. 用区间表示为22

层级二

应试能力达标

1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(

) A．x＝y2＋1

C．x－2y＝6

B．y＝2x2＋1

D．x＝y

解析：选A

对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；1对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6⇒y＝x－3是一次函数；对于D，由x2＝y得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A. 2．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝(

) A．[1，＋∞) C．[2，＋∞)

B．(1，＋∞)

D．(0，＋∞) 解析：选C

集合A表示函数y＝x－1的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．

3．若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a的值是(

) A．1 C．－1

B．0

D．2 解析：选A

∵f (x)＝ax2－1，∴f (－1)＝a－1，

f (f(－1))＝f (a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1. ∴a(a－1)2＝0. 又∵a为正数，∴a＝1. 1－x24．函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A．(－∞，1]

B．[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞)

11－1，－∪－，1

D.2221－x≥0，解析：选D

由题意得2

2x－3x－2≠0，

－1≤x≤1，1解得即－1≤x≤1且x≠－，

12x≠2且x≠－，211－1，－∪－，1.故选D. 所以函数的定义域为22

5．函数y＝区间表示)．

1的定义域是A，函数y＝2x＋6 的值域是B，则A∩B＝________(用x－21解析：要使函数式y＝有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝2x＋6 ≥0，x－2即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．

答案：[0,2)∪(2，＋∞) 6．函数y＝6－x的定义域用区间表示为________．

|x|－46－x≥0，x≤6，解析：要使函数有意义，需满足即

4，|x|－4≠0，x≠±

∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．

答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6] 7．试求下列函数的定义域与值域：

(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；

(2)f(x)＝(x－1)2＋1；

(3)f(x)＝5x＋4；

x－1(4)f(x)＝x－x＋1. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．

(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．

(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝5x＋49＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．

x－1x－1(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝155t－2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2445y≥－的值域是y4. 

x28．已知函数f(x)＝. 1＋x211的值；

(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 231(2)求证：f(x)＋f x是定值；

11＋…＋f(2 018)＋f 1的值．

(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f 232 018x2解：(1)∵f(x)＝，

1＋x2122122∴f(2)＋f 2＝＝1，

2＋121＋21＋212313f(3)＋f ＝＝1. 2＋31＋3121＋3212xx2＋11xx21(2)证明：f(x)＋f x＝＋＝＋＝＝1. 121＋x2x2＋1x2＋11＋x21＋x21(3)由(2)知f(x)＋f x＝1，

11＝1，f(4)＋f 1＝1，…，f(2 018)＋f 1＝1. ∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f 2342 01811＋…＋f(2 018)＋f 1＝2 017. ∴f(2)＋f ＋f(3)＋f 232 018