小结评课稿

明目标、知重点

1.巩固和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．

1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(

) A．2个

B．4个

C．6个

D．8个

答案

B 解析

∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．

∴M∩N的子集共有4个．

2．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这2个元素，则下列说法中正确的是(

) A．a可取全体实数

B．a可取除去0以外的所有实数

C．a可取除去3以外的所有实数

D．a可取除去0和3以外的所有实数

答案

D 3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么(

) A．aA

B．a∉A

C．{a}∈A

D．{a}A

答案

D 4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁IM)∩(∁IN)等于(

) A．∅

B．{d}

C．{b，e}

D．{a，c} 答案

A 解析

∵∁IM＝{d，e}，∁IN＝{a，c}，

∴(∁IM)∩(∁IN)＝{d，e}∩{a，c}＝∅. 5．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，下图中阴影部分所表示的集合为(

)

A．{1}

B．{1,2}

C．{1,2,3}

D．{0,1,2} 答案

B 解析

由题意得，A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．

6．已知P＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，Q＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，则P与Q的关系为________．

答案

P＝Q

解析

∵x＝a2＋1≥1，x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，

∴P＝Q＝{x|x≥1}．

题型一

集合的概念

例1

设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________. 答案

{(4,4)} x－y＝0，x＝4，解析

由得∴A∩B＝{(4,4)}．

2x－3y＋4＝0y＝4.

反思与感悟

要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．

b跟踪训练1

设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b，则b－a＝________. 答案

2 b解析

因为{1，a＋b，a}＝0，a，b，a≠0，

b所以a＋b＝0，得＝－1，

a所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 题型二

集合间的基本关系

例2

若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．

解

由题意得，P＝{－3,2}．

当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

1当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，

a

11为满足S⊆P，可使－＝－3，或－＝2，

aa11即a＝，或a＝－. 3211故所求集合为0，3，－2. 反思与感悟

(1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．

跟踪训练2

设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若BA，求实数a的取值范围．

解

由已知得A＝{1,2}．若B⊆A，则集合B有两种情况，B＝∅或B≠∅. 当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根，

∴Δ＝16－4a＜0，∴a＞4. 当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；若Δ＞0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，但由根与系数的关系知矛盾，故Δ＞0不成立．∴当B≠∅时，a＝4. 综上所述，满足B⊆A时，a的取值范围是a≥4. ∴满足BA的a的取值范围是a＜4. 题型三

集合的交、并、补运算

例3

设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，

∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}．

∴(∁RA)∩B＝{x|2

反思与感悟

求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．

跟踪训练3

已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁UB)等于(

) A．{1}

C．{4,5}

答案

B 解析

∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，

∴∁UB＝{0,2,3,6}，

B．{3,6} D．{1,3,4,5,6}

又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁UB)＝{3,6}，选B. 题型四

集合的实际应用

例4

向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

3解

赞成A的人数为50×＝30，

5赞成B的人数为30＋3＝33，

记50名学生组成的集合为U，

赞成事件A的学生全体为集合M；

赞成事件B的学生全体为集合N. x设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而3不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x. 则Venn图如图所示：

x依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(＋1)＝50，解得x＝21. 3所以对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的学生有8人．

反思与感悟

解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，注意两个集合并集的元素个数不一定等于两个集合的元素个数和．

跟踪训练4

学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？

解

设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，

可知没有参加过比赛的同学有：

45－(12＋20－6)＝19(名)．

答

这个班共有19名同学没有参加过比赛．

[呈重点、现规律]

1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．

2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性

质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．

一、基础过关

1．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2

) A．{x|2

C．{x|－1

答案

B 解析

结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．

2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是(

) A．2

B．3

C．4

D．5 答案

B 解析

集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．

3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁UA)∩B＝{5}，则集合B等于(

) A．{1,3}

C．{1,5}

答案

D 解析

画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．

B．{3,5} D．{1,3,5} B．{x|－1≤x≤5} D．{x|－1

4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是(

) A．M＝P

C．PM

B．MP

D．M与P没有公共元素

答案

B 解析

∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，…. ∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，…. ∴MP. 5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(

) A．M∪N

C．(∁UM)∪(∁UN)

B．M∩N

D．(∁UM)∩(∁UN)

答案

D 解析

∵∁UM＝{1,4,5,6}，∁UN＝{2,3,5,6}，

∴(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}．

6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．

答案

a≤2 解析

如图中数轴所示，要使A∪B＝R，需满足a≤2.

7．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

(1)求A∩B；

(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

解

(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．

a(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C⇔B⊆C，

2a∴－<2，∴a>－4. 2∴a的取值范围是{a|a>－4}．

二、能力提升

8．已知集合A＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为(

) A．a＞3

B．a≥3

C．a≥7

D．a＞7 答案

A 解析

因为A＝{x|x＜3，或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x＜7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a＞3. 9．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1A，x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为______．

答案

1 解析

当x＝1时，x－1＝0A，x＋1＝2∈A；

当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；

当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4A；

当x＝5时，x－1＝4A，x＋1＝6A；

综上可知，A中只有一个孤立元素5. 10．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁UB)＝________. 答案

{x|0

∵∁UB＝{x|x≤1}，借助数轴可以求出∁UB与A的交集为图中阴影部分，即{x|0

11．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．

答案

6 解析

(1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；

(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或∅. 12．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？

解

由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18(人)．

三、探究与拓展

13．已知集合A＝{x|1

(1)试定义一种新的集合运算Δ，使AΔB＝{x|1

(2)按(1)的运算，求BΔA. 解

A＝{x|1

(1)∵AΔB＝{x|1

由上图可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，

∴定义AΔB＝{x|x∈A，且xB}．

(2)由(1)可知BΔA＝{x|x∈B，且xA}＝{x|3≤x≤4}．