习题1.2名师教学设计2

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1.2 函数及其表示

课堂探究

探究一列表法表示函数

列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算．

【典型例题1】

已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

x f(x)

x g(x)

1

2

2

1

3 1 1

3

2

2

3 1 则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______. 思路分析：这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．

解析：由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．

由f(x)对应表，得f(3)＝1，

∴f(g(1))＝f(3)＝1. 由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2. 又g(f(x))＝2，

∴f(x)＝2. 又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2. ∴x＝1. 答案：1 1 探究二 求函数的解析式

求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解．

求函数解析式的常用方法：

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．

【典型例题2】 (1)已知f(x＋1)＝x－3x＋2，求f(x)；

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(2)已知fx121＝x＋x2，求f(x)；

x1变形，x2(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

思路分析：(1)令x＋1＝t，代入f(x＋1)＝x－3x＋2可得f(x)；(2)将x＋22使其变为关于x＋12的形式，可得f(x)；(3)设出f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，再根据条件列x2出方程组求出a，b，c的值．

解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x－3x＋2，得f(t)＝(t－1)－3(t－1)＋2＝t－5t＋6，

∴f(x)＝x－5x＋6. (2)fx22212112＝x＋＝x－2，

x2xx22∴f(x)＝x－2. (3)设所求的二次函数为f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．

∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax＋bx＋1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，对任意x∈R成立，

∴a(x＋1)＋b(x＋1)＋1－(ax＋bx＋1)＝2x，

即2ax＋a＋b＝2x，

2221，2a＝2，a＝由恒等式性质，得∴

a＋b＝0，b＝－1.∴所求二次函数为f(x)＝x－x＋1. 探究三 函数的图象

函数的图象能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图象．

1．作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象．

2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈．

【典型例题3】

作出下列函数图象并求其值域．

(1)y＝1－x(x∈Z)；

(2)y＝2x－4x－3(0≤x<3)．

解：(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点(如图(1))，由图象知，y∈Z. (2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))，

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由图象知，y∈[－5,3)．

方法总结(1)中函数的图象是一些离散的点，故该函数的值域是各点纵坐标组成的集合．

(2)中函数的图象是一条连续不间断的曲线，故该函数的值域就是图象上所有点纵坐标的取值范围．

探究四 易错辨析

易错点

忽略变量的实际意义

【典型例题4】

如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图象．

错解：由题意，得△CQB∽△BAP，

所以CQCB＝，

BABP即y4＝. x312. x12，其图象如图所示．

x所以y＝故所求的函数表达式为y＝“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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错因分析：没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围，导致出错．

正解：由题意，得△CQB∽△BAP，

所以CQCBy412＝，即＝.所以y＝. BABPxx3因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，CB＝AD＝4，

所以BD＝3242＝5，

所以3≤x≤5，

故所求的函数表达式为y＝12

(3≤x≤5)．

x如图所示，曲线MN就是所求的函数图象．

反思从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．

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