小结优秀完整教案

函数零点问题专题教案

高一数学组 吴变样

一、高考趋势分析

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

二、知识梳理

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．

(2)零点存在性定理(函数零点的判定) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[提醒]

此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

(3)几个等价关系

函数y＝f(x)有零点

⇔

方程f(x)＝0有实数根

⇔

函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．

推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点

⇔

方程f(x)－g(x)＝0有实数根

⇔

函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．

推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点

⇔

方程f(x)＝g(x)有实数根

⇔

函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．

1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？

3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？

提示：不一定，可能有多个．

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac 二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

与x轴的交点

零点个数

(x1，0)，(x2，0) 2

(x1，0) 1

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

无交点

0

1

三、题型分析

对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：

1．函数零点的求解与所在区间的判断；

2．判断函数零点个数；

3．利用函数的零点求解参数及取值范围．

四、典例剖析

考向一、函数零点的求解与所在区间的判断

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

D．(3，4) 2．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．

3．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

) A．(a，b)和(b，c)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

4．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(

) A．{1，3}

B．{－3，－1，1，3} D．{－2－7，1，3} C．{2－7，1，3} 总结：确定函数f(x)零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

讲练结合

61．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) xA．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，4)

2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为(

) A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

考向二、判断函数零点个数

x－2，x>0，1．已知函数f(x)＝2满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的－x＋bx＋c，x≤0D．(4，＋∞) D．(3，4)

零点个数为________．

2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

) 2

A．1

B．2

C．3

D．4 2－|x|，x≤2，3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)2x－2，x＞2，

的零点个数为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

讲练结合

1．函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．

lg x，x>0，0，x＝0，2．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x，函数g(x)＝1－x，x<0，2

则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5，5]上的解的个数为(

) A．5

C．8

B．7 D．10 考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围

1．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为(

) A．0

11B．－

C．0或－

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D．2 2．已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是(

) A．(0，4)

B．(4，＋∞)

C．(0，2)

D．(2，＋∞) 1x3．已知函数f(x)＝log2x－3，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0

) A．恒为负

B．等于零

C．恒为正

D．不小于零

1x2－2x＋．若函数y＝f(x)－a4．已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝2在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．

5．(2015·湖北八校联考)已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝仅有3个零点，则a的取值范围是(

) 3

[x]－a(x≠0)有且x

3443A．4，5∪3，2

方法技巧

34431253，∪，

C．，∪，

B．453223421253D．2，3∪4，2

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

讲练结合

x2－1，x≤1，1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋log2x，x>1，

11A．，0

B．－2，0

C．

22

D．0 x2－1，x＞0，2．已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是－x－2x，x≤0，

________．

2x－a，x≤0，3．已知函数f(x)＝2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

x－3ax＋a，x＞0

知识拓展

必记结论

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

五、课堂小结

1.求函数零点：①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；

2.利用零点的存在定理，求参数的取值范围. 3.函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想

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