阅读与思考 中外历史上的方程求解教学活动设计方案

第9讲

函数的应用

基础巩固

1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(

)

【答案】D

xx【解析】设原有荒漠化土地面积为b,由题意可得by=b(1+10.4%),即y=(1+10.4%).由此可知应选D. 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本2为C(x)=x+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(

) A.36万件

B.18万件

C.22万件

D.9万件

【答案】B

2【解析】由题意可知利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)+142,当x=18时,L(x)有最大值,因此该企业一个月应生产18万件该商品. 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是(

)

【答案】A

22【解析】根据汽车加速行驶s=at(a>0),匀速行驶s=vt,减速行驶s=at(a<0),结合函数图象可知选A. 4.某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件(

) A.100元

B.110元

C.150元

D.190元

【答案】C

【解析】设售价在100元基础上提高x元,则依题意y=(100+x)(1 000-5x)-80×1 000=-25x+500x+20 000,故当x=50元时,y取最大值32 500元,此时售价为150元. 5.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,这个人应得稿费(扣税前)为(

) A.2800元

B.3000元

C.3800元

D.3 818元

【答案】C

【解析】设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额y为分段函数,由题意,得

y= 如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所以稿费应在800~4 000元之间. 于是可知(x-800)×14%=420,即x=3 800.故选C. 6.(2013届·河南郑州监测)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水符合指nt数衰减曲线y=ae.若5 min后甲桶和乙桶中的水量相等,又过了m min后甲桶中的水只有L,则m的值为(

) A.7

B.8

C.9

D.10 【答案】D

ntnt5n15n【解析】令a=ae,即=e,因为=e,故=e,比较知t=15,m=15-5=10. 7.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过

小时,才能开车.(精确到1小时)

【答案】 5 【解析】设x小时后,血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL,则有0.3·≤0.09,即≤0.3,估算或取对数计算得x>4,即至少经过5小时后,可以开车.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

8.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为

.(围墙厚度不计)

【答案】 2 500 m

【解析】设矩形的长为x m,宽为m, 2则S=x·(-x+200x). 2当x=100时,Smax=2500 m. 9.现有含盐7%的食盐水200 g,需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水,设需要加入4%的食盐水x g,则x的取值范围是

.

【答案】(100,400) 【解析】根据已知条件,设y=, 令5%

.

2

【答案】 180 【解析】依题意知,即x=(24-y), 故阴影部分的面积

2S=xy=(24-y)y=(-y+24y), 当y=12时,S有最大值为180. 11.某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时,换装分时电表后,峰时段(早上8点至晚上21点)的电价为0.55元/千瓦时,谷时段(晚上21点至次日早上8点)的电价为0.35元/千瓦时,对于一个平均

每月用电量为200千瓦时的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的10%,求这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为多少? 【解】设每月峰时段用电量为x千瓦时,则有

(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x) ≥200×0.52×10%, 解得x≤118. 故这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118千瓦时. 12.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: R(x)= 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 【解】(1)设每月产量为x台,则总成本为20 000+100x, 从而f(x)= 2(2)∵当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)+25 000, ∴当x=300时,f(x)有最大值25 000; 当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数,[来源:学。科。网]

f(x)<60 000-100×400<25 000.

因此当x=300时,f(x)的最大值为25 000. 故每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25 000元. 13.现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按10这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过10个?(精确到小时)(参考数据:lg

3≈0.477,lg 2≈0.301) 【解】现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数,[来源:学。科。网]

1小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100;

2小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100;[来源:学科网]

3小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100;

4小时后,细胞总数为×100+×100×2=×100;

…

可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为

y=100×,x∈N.

10由100×>10, 8得>10, 两边取以10为底的对数,得xlg>8, 从而可知x>.

∵≈45.45, 10∴经过46小时,细胞总数超过10个.

拓展延伸

14.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6点至中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出: y=[来源:学科网]

求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻. 【解】(1)当6≤t<9时, 22y'=-t-t+36=-(t+4t-96) =-(t+12)(t-8). 令y'=0,得t=-12或t=8.

故当t=8时,y有最大值. ymax=18.75(分钟).

(2)当9≤t≤10时,y=t+是增函数, 故当t=10时,ymax=15(分钟).

2(3)当10

综上所述,上午8时,通过该路段用时最多,为18.75分钟.