3.4.1 函数与方程获奖说课稿

贵州省瓮安中学

《3.4.1 方程的根与函数的零点》教学设计

贵州省瓮安中学 周清

考纲要求：本节内容要求结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数。

考法理解与考纲预测：在小题中常联系函数的图像和性质考查函数零点与方程的根，解答题中常与导数综合考查。表现出较强的灵活性。高考中考查的相当频繁，往往结合函数的图像变换，对称性等进行考查，是数形结合思想，转换思想，函数与方程思想的综合体现。

根据考纲要求和考点分析，制定以下的教学设计环节。

一：教材分析

教材地位与作用：

函数是中学数学的核心概念，与其它知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。

函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。

用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

教学目标：

（1）知识与技能：了解函数的零点与方程的根的联系，掌握判断零点存在的方法。

（2）过程与方法：通过方程与函数图像体会数形结合思想,转化思想以及函数与方程思想的意义和价值。通过组织学生活动培养学生自主发现、探究实践的能力。

(3)情感态度与价值观：引导学生自主探究，发现问题，解决问题，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

教材重难点：

重点：掌握零点的概念及零点存在性定理

难点：零点存在性定理的理解及其应用

二：学情分析

学生已具备的：(1)掌握基本初等函数的图象和性质；

(2)知道一元二次方程的根和相应二次函数图像与x 轴的联系；

学生还欠缺：(1)应用函数作为工具来解决解决问题的意识还不强；

(2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够；

三：教法学法

以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学。构建学生自主探究、合作交流的平台。

四：教学过程

（一）自学环节（3分钟）

零点的概念：函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。

三种等价关系：（1）方程f(x)=0的根

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（2）函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标

（3）函数y=f(x)的零点

求解函数零点的方法：代数法：解方程

几何法：画图像

1.函数y=x(x2-16)的零点为（

）

A.

(0,0)(4,0)

B.0,4

C.(-4,0)(0,0)(4,0)

D.-4,0,4 2：判断函数有几个零点，若有，请求出。（用几何画板将图像展示出来）

(1)

f(x)=x3-x2+1

（2）f(x)=㏑x+2x-6 设计意图：使学生体验函数零点的求法，与方程根的关系。对于无法解方程的情况，可画图，但是对于没有工具的同学们来讲，图像法必然会遇到极大的问题。为本节课的零点是否存在，有几个等问题埋下伏笔，激发学生学习兴趣。

（二）互学+展学环节（学生交流理解问题设置的目的并进行总结（10分钟））

思考：下面有两组简笔画，哪一组说明人一定过河了？

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。

问题1：

将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的图象与x轴一定会有交点？

设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的图象，理解为一种动态的过程。

问题2：

A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

答：A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。

设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。

问题3：

满足图像连续，f（a）·f（b）<0，函数的零点一定在（a，b）内吗？

答：一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。

设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。

问题4：你能试着总结函数与x轴有交点的条件吗？

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答：图像在区间【a,b】连续，f（a）·f（b）<0 设计意图：强化学生的总结能力，形成科学研究问题的方法。

零点的存在性定理：

一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0 这个c即是方程f(x)=0的根。

即只要满足条件（1）函数在区间【a,b】内连续（2）f(a).f(b)<0。函数在区间（a，b）内存在零点。

（三）师生互学环节：微课展示，教师适当引导：加深定理的理解。（8分钟）

观察以下几幅图，函数在【a,b】上满足零点存在性定理的条件吗？有零点吗？存在怎么理解？

6421a2b5a210152b461433222f(x) = x3 + 3∙x2

23

411g(x) = ln(x + 3)8

a2b1246a8210b1246822331，闭区间上连续不可少。2.定理不可逆。3，零点个数不唯一。4.函数单调，零点唯一。

44设计意图：通过简短的六分钟视频教学，利用新鲜事物吸引其注意力。引导学生发现问题，提高总结问题的能力。形成科学的，严谨的数学研究方法。使学生从实例中突破本节课的难点。

55（四）应用检测试一试：（15分钟）

例题1 .观察下表，分析函数

在定义域内是否存在零点？

－2 －1 0

-109 -10 -1 1 8 2 107 ，所以在区间（0，1）分析：函数上必存在零点。

图象是连续不断的，又因为设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x，f(x)的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识．

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例题2

求函数分析：用计算器或计算机作出x，

1 2 3 的零点个数．

的对应值表和图象。

5 5.6 6 7 8 12.1 9 14.2 4 3.4

-4.0 -1.3 1.1 由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则合函数的单调性，进而说明

7.8 9.9 ，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结零点是只有唯一一个．

让学生思考还有没有其他它的解题方法。学生分组讨论，合作交流。让不同小组的同学的方法进行展示，相互学习。

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。

（五）归纳总结：（4分钟）（由学生自主归纳，小结）

设计意图：通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以及零点存在性定理的内容和作用，鼓励学生积极回答，然后老师再从数学思想方面进行总结。提升学生总结概括能力，使学生将课堂知识内化成自己的数学素养。

（六）作业布置（1.2.3.4必做，5.6选做）

1.求下列函数的零点。

(1)f(x)=3x+2 （2）f(x)=x2-3x-4 （3）f(x)=log2x 2.若函数y=f(x)在R上是增函数，则函数的零点（）

A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个

3.函数y=log2/x/-1的零点有---------------------个。

x24.函数f(x)=3-x的零点所在区间是（ ）

A.(1,2) B.(-2,-1) C.(0,1) D.(-1,0) 5.求函数f(x)=lnx- 1/x的零点个数，并指出零点所在的大致区间

。

6.函数f(x)=ax2+2x+1在区间（0,2）内恰有一个零点，求a的取值范围。

设计意图：通过分层布置作业，满足不同层次学生的能力发展需求。

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