3.4.1 函数与方程教学设计及教案分析

函数与方程（一）

教学目标：

1 能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数

2 了解函数的零点与方程根的联系

3 掌握函数的零点存在性定理

4 体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法

教学重点、难点

1 函数的零点存在性定理

2 函数与方程的数学思想

教学过程：

一

引入

首先，我们从二次函数开始我们的探究之旅。请画出函数yx2x3的图象。

得出二次函数的零点。

推广到一般，对于一般的函数而言，

我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数2yf(x)的零点。

判断题：（1）函数f(x)2x4的零点为(2,0).（×）

（2）函数f(x)28的零点为3.

（√

）

【设计意图】

辨析函数零点的定义。

二

概念深化：

在刚才的引入中，我们是如何知道函数f(x)x2x3有零点的？

1 求方程的根；

追问：还可以怎么判断二次函数有无零点。

2利用判别式；

3由二次函数的图象是开口向上的抛物线，

f(1)40）

所以函数图象与x轴有两个不同的交点。

小结一下，函数yf(x)有零点等价于哪些说法？

【板书】

[答] 函数2xyf(x)有零点

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有公共点

（公共点的横坐标即为函数的零点）

小结一下：目前我们判断函数有没有零点有哪些方法？

①代数方法：解方程f (x)＝0；

②几何方法：图象法：图象与x轴有没有交点

【设计意图】：

先是判断一元二次函数的零点，方法比较特殊。

1

三

探究新知：判断函数f(x)x2x1是否存在零点？

法一：求根公式，求出根。法二：判别式法；

法三：抛物线开口向上，f（0）<0

变式：判断函数f(x)x2x1在区间(2,3)上是否存在零点？

法一：求出根，判断出一根在区间(2,3)上。

（但此时

判别式法失效。）

如果再变为

判断函数f(x)22x3是否存在零点？

怎么解

能直接解方程吗？不能。

有没有什么方法？（画函数图象，与x轴交点。）

我们还是从二次函数来探讨............先来看二次函数f(x)x2x1的图象........ 法二：因为f(2)10，f(3)20，而二次函数f(x)x2x1在区间[2,3]上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2,3)上存在零点。

那么，对于一般的函数yf(x)，在[a,b]满足怎样的条件时，能保证在(a,b)有零点呢？大家在草稿纸上画画图，探究一下。

（也可以相互讨论。）

板书。

（可投影。）

【设计意图】：也是通过类比的方法，从特殊到一般，得出零点存在性定理。

四

定理辨析（函数的零点存在性定理）

一般地，若函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上有零点。

1 【在闭区间图象不间断】什么叫在闭区间函数图象不间断？

简单的说，就是拿一只笔，笔尖不离开纸面，图象能够一笔画成。

在我们平常的解题过程中，我们所遇到的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数以及它们的和、差、积的图象在所给的使函数有意义的闭区间上都是不间断的。这给我们解题带来了极大的方便。

2 【f(a)f(b)0】

判断题：

（1）若函数图像不间断但f (a)·f (b)＞0，那么函数y＝f (x)在区间(a, b)上没有零点？（×）

请学生画图。

（2）若f(x)的图象在闭区间[a,b]上不间断，且在开区间（a，b）上有零点，

则一定有f(a)f(b)0

（×）

3 【开区间上有零点】

（1）能否说在闭区间[a,b]上有零点。

判断题：（1）若函数f(x)的图象在[a,b]上不间断且f(a)f(b)0，则函数在区间(a,b)上2

22x22

只有一个零点。（×

）

请学生画图。

（2）若函数f(x)的图象在[a,b]上不间断，f(a)f(b)0，且函数在[a,b]上为单调函数，

则函数在区间(a,b)上有且只有一个零点。（√

）

【设计意图】：辨析定理，得出定理+单调性证函数有且只有一个零点。

【小结】：研究完“函数的零点存在性定理”，我们判断函数有零点有哪些方法？

一：解方程

二：图象法

三：定理法

【板书】

五：定理运用

判断函数f(x)22x3是否存在零点？

一

解方程，不行。

二

图象法（直观但不严谨）

三

定理法：（严谨）

【板书】

变式：求证：方程232x在(0,1)上有实数根。

要证明方程有根的问题，我们可以把它转化为判断某一个函数的零点存在问题。

．．．．．【设计意图】：让学生有多种想法，将函数有无零点问题转化为方程有无根的问题以及转化为两个函数图象的交点问题。

例：设定义在[0,1]上的函数yf(x)的图象是一条不间断的曲线，且0f(x)1，

求证：f(x)x在x[0,1]上有实数根。

当我们遇到较难的方程时，通过构造新的函数，将解方程的问题转化为求函数零点的问题。

【设计意图】：这个例题还告诉我们，在[0,1]中至少有一个x，经过f作用后，还是本身，它没有动！蕴含“不动点”的概念。

六

小结

七

作业

（1）必做题：P93 练习

1-5

（2）选做题：P97 1,3,4

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