习题2.2教学设计第一课时

知

识

梳

理

1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质

①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)；③零和负数没有对数. (2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0) M①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的重要公式

logaN1①换底公式：logbN＝logb

(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝loga，推广ablogab·logbc·logcd＝logad. 3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1 图象

定义域

值域

(0，＋∞) R

过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 性质

当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 在(0，＋∞)上是增函数

当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是减函数

考点一

对数的运算

【例1】

(1)(log29)·(log34)＝(

) 1A.4

1B.2

C.2

D.4 (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. lg 9lg 42lg 32lg 2解析

(1)(log29)·(log34)＝lg 2·lg 3＝lg 2·lg 3＝4. (2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案

(1)D

(2)2 规律方法

在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式. 11【训练1】

(1)设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于(

) A.10

B.10

C.20

D.100 51－1(2)(2015·安徽卷)lg2＋2lg 2－2＝________. 1111解析

(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则a＋b＝logm＋logm＝logm2＋logm525＝logm10＝2.解得m＝10. 51－1(2)lg 2＋2lg 2－2＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 答案

(1)A

(2)－1 考点二

对数函数的图象及应用

【例2】

(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(

) A.a＞1，c＞1

B.a＞1，0＜c＜1 D.0＜a＜1，0＜c＜1 C.0＜a＜1，c＞1

1(2)当0＜x≤2时，4x＜logax，则a的取值范围是(

) 2A.0，

22B.，1

C.(1，2)

2D.(2，2)

解析

(1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a＜1.又当x＝0时，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1. 1(2)由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax0＜x≤2，1即当0＜x≤2时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的111x下方.又当x＝2时，42＝2，即函数y＝4的图象过点2，2.21把点2，2代入函数y＝logax，得a＝2.若函数y＝4x的图2象在函数y＝logax图象的下方，则需2＜a＜1(如图所示). 2当a＞1时，不符合题意，舍去.所以实数a的取值范围是，1. 2答案

(1)D

(2)B 规律方法

(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象. (2)对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可以借助函数图象解决，具体做法为：①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；②在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象；③比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况. 【训练2】

(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(

) A.0＜a－1＜b＜1

C.0＜b－1＜a＜1

aB.0＜b＜a－1＜1 D.0＜a－1＜b－1＜1 111b1c(2)设a，b，c均为正数，且2＝log2a，2＝log2b，2＝log2c，则(

) A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.c＜a＜b

D.b＜a＜c

解析

(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a＞1.函数图象与y轴的交1点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1＜logab＜0，解得a＜b＜1. 1综上有0＜a＜b＜1.

11x(2)如图，在同一坐标系中，作出函数y＝2，y＝2x，y＝log2x和y＝log2x的图象.由图象可知a＜b＜c. 答案

(1)A

(2)A 考点三

对数函数的性质及应用

[微题型1]

比较大小

【例3－1】

若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则(

) A.a＞b＞c

C.c＞a＞b

B.b＞a＞c

D.b＞c＞a

解析

因为log3π＞log33＝1，0＝log71＜log76＜log77＝1，log20.8＜log21＝0，所以a＞b＞c，故选A. 答案

A 规律方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. [微题型2]

解简单的对数不等式

【例3－2】

(1)函数y＝2－log2x的定义域是(

) A.(4，＋∞)

B.[4，＋∞)

C.(0，4]

D.(0，4) logx，x＞0，2(2)设函数f(x)＝1若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(

) log（－x），x＜0.2A.(－1，0)∪(0，1)

C.(－1，0)∪(1，＋∞)

B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，1) 解析

(1)由2－log2x≥0，得log2x≤2＝log222，解得0＜x≤4.

a＜0，a＞0，(2)由题意可得或1解得a＞1或－1＜log2a＞－log2alog2（－a）＞log2（－a），a＜0. 答案

(1)C

(2)C 规律方法

形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式. [微题型3]

与对数函数有关的最值问题

【例3－3】

已知函数f(x)＝loga(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 解

假设存在满足条件的实数a. ∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1，2]上是关于x的减函数，又f(x)＝loga(3－ax)在[1，2]上是关于x的减函数.∴函数y＝logau是关于u的增函数. ∴a>1，x∈[1，2]时，u最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，

3a<2，3－2a>0，∴即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，3loga（3－a）＝1，a＝2，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法

解决与对数函数有关的最值问题，应注意两点：(1)函数的定义域；

(2)复合函数的单调性. 【训练3】

(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(

) A.a＞c＞b

C.c＞b＞a

B.b＞c＞a

D.c＞a＞b

(2)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上最大值和最小值之和为a，则a的值为________. 解析

(1)∵3＜2＜3，1＜2＜5，3＞2，∴log33＜log32＜log33，log51＜log5 2＜log55，log23＞log22，

11∴2＜a＜1，0＜b＜2，c＞1，∴c＞a＞b.

(2)y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同. ①当a＞1时，f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(0). ②当0＜a＜1时，f(x)的最大值为f(0)，最小值为f(1). ∴不论a＞1还是0＜a＜1都有f(0)＋f(1)＝a，

1即a＋loga1＋a＋loga2＝a，解得a＝2. 01答案

(1)A

(2)2

课堂小结：

[思想方法] 1.对数值取正、负值的规律

当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，logab＞0；

当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，logab＜0. 2.研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，要注意底数a＞1和0＜a＜1的两种不同情况.有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现. 3.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范] 1.在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的(

) A.充分必要条件

C.必要不充分条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞log21＝0；当log2a＞log2b＞0＝log21时，有a＞b＞1.故选A. 答案

A 2.若函数y＝logax( a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

解析

由题意y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，1xy＝3＝3，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项－xC中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B. 答案

B 3.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(

) A.d＝ac

B.a＝cd C.c＝ad

D.d＝a＋c

解析

由已知得b＝5a，b＝10c，5d＝10，∴5a＝10c，5d＝10，同时取以10为底c1的对数可得，alg 5＝c，dlg 5＝1，∴a＝d，即a＝cd. 答案

B

34.若loga5＜1，则a的取值范围是(

) 3A.0，5

3C.5，1



3B.5，＋∞

3D.0，5∪(1，＋∞) 333解析

当a＞1时，loga5＜logaa，解得a＞5，∴a＞1；当0＜a＜1时，loga5＜logaa，3解得0＜a＜5.故选D. 答案

D 5.(2015·郑州调研)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是(

) A.(1，＋∞)

1C.(0，3)

B.(0，1) D.(3，＋∞) 解析

由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1.又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3，故选D. 答案

D 二、填空题

6.(2015·四川卷)lg 0.01＋log216的值是________. 解析

lg 0.01＋log216＝lg 10－2＋log224＝－2＋4＝2. 答案

2 17.函数y＝log2(x2－2x)的定义域是________；单调递减区间是________. 解析

由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，∴函数的定义域为：(－∞，0)∪(2，＋∞). ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，

1∴函数y＝log2(x2－2x)的单调递减区间为(2，＋∞). 答案

(－∞，0)∪(2，＋∞)

(2，＋∞) 8.(2016·武汉调研)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________.

解析

由题意知y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)＞0的x的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞). 答案

(－1，0)∪(1，＋∞) 三、解答题

9.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集. x＋1>0，解

(1)要使函数f(x)有意义.则解得－10，为{x|－11时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1，1－x解得00的x的解集是{x|0

当a＞1时，f(x)＝logax在3，2上单调递增，

1log≥－1，1a3，2要使x∈3都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3. loga2≤1，11当0＜a＜1时，f(x)＝logax在3，2上单调递减，要使x∈3，2都有|f(x)|≤1成1loga≤1，13立，则有解得0＜a≤3. loga2≥－1，

1综上可知，实数a的取值范围是0，3∪[3，＋∞). 能力提升题组

(建议用时：20分钟) 211.(2015·日照模拟)设f(x)＝lg1－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(

) A.(－1，0)

C.(－∞，0)

B.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 1＋x解析

由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg的定义域为(－1，1). 1－x由f(x)<0，可得0<答案

A 212.设函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x21)＋f(x2)＋…＋2f(x2 017)的值等于(

) 1＋x<1，∴－1

B.8

C.16

D.2loga8 解析

由f(x1x2…x2 017)＝8，得loga(x1x2…x2 017)＝8，

22222所以f(x1)＋f(x22)＋…＋f(x2 017)＝logax1＋logax2＋…＋logax2 017

＝loga(x2x2…x21·2·2 017)＝2loga(x1x2…x2 017)＝2×8＝16. 答案

C x13.(2015·湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则1－xab的取值范围是________. bababa解析

由题意可知ln＋ln＝0，即ln1－a×1－b＝0，从而×＝1－a1－b1－a1－b1211，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a＋a＝－a－2＋4，

212111又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜2，故0＜－a－2＋4＜4. 1答案

0，4



114.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最1小值是－8，求a的值. 321112解

由题意知f(x)＝2(logax＋1)(logax＋2)＝2(logax＋3logax＋2)＝2logax＋2－18. 13当f(x)取最小值－8时，logax＝－2.又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1). ∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得. 32－31111若2loga2＋2－8＝1，则a＝2－3，此时f(x)取得最小值时，x＝2－32

32111＝2∉[2，8]，舍去.若2loga8＋2－8＝1，则a＝2，

3－112此时f(x)取得最小值时，x＝2＝22∈[2，8]，符合题意，∴a＝2. 