习题1.2第二课时 公开课

2.3幂函数导学案

【学习目标】

1.了解幂函数的概念。

2.掌握幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x－1的图象及其变化趋势。

【核心素养】

（1）通过5个具体实例了解幂函数的概念；结合它们的图象，了解一般幂函数的主要特征、性质和变化情况，体会其变化规律、对称性以及探索过程中蕴藏的数形结合、类比和归纳的思想方法，体现了几何直观和模型思想的数学素养。

（2）由特殊的具体的幂函数性质归纳出一般幂函数性质，这也是学习和研究数学．．的重要方法思想.而这个研究过程，又恰好可以适时地体现出分类讨论的思想，体现．．．．了推理能力的数学素养。

（3）在学、教、练过程中，培养学生合作交流、逻辑推理，获取知识能力，培养学生勇于实践的科学探索精神。

【知识梳理】

1.如果张红购买了每千克1元的水果千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量（千克）之间的关系？根据函数的定义可知，这里p是的函数。

2.如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数。

3.如果正方体的边长为a，那么正方形的面积Va3，这里V是a的函数. 4.如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长aS，这里a是S的函数。

5.如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的速度t1km/s，这里是t的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（右边是指数式，且底数都是变量）

1．一般地，

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

（注：幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．）

2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x－1的图象．

2312122312

填1 幂函数的图像和性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

抽象函数

y＝x

y＝x

2

y＝x

12y＝x

3y＝x－1

总结：★(1)所有的幂函数图象都过点

，在(0，＋∞)上都有定义．

(2)若α>0时，幂函数图象过点

，且在第一象限内单调

；若α<0，则幂函数图象过点

，并且在第一象限内单调

.

(3)当α为奇数时，幂函数图象关于

对称；当α为偶数时，幂函数图象关于

对称．

(4)幂函数在第

象限无图象.

(5)y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x－1的图像在第一象限内，逆时针旋转，幂指数逐渐

。

【例题讲解】

1【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；x⑥y＝x；⑦y＝a(a>1)．其中幂函数的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 ，求此幂函数的解析式，并指出定义域．

1

(3)已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f8＝________. 

2312(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3

【例2】下列幂函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的是(

) A．f(x)＝x

B．f(x)＝x23－1－2

C．f(x)＝x

D．f(x)＝x

312★【例3】讨论函数y＝x,yx1,yx2,yx3的定义域、奇偶性，作出它们的草图，并根据图象，说明函数的单调性．

练习题2.3 1．函数y＝3xα－2的图象过定点(

) A．(1,1)

B．(－1,1)

C．(1，－1)

D．(－1，－1) 2．已知a＝1.2，b＝0.9，c＝1.1，则(

) A．c

B．c

C．b

D．a

()ogl★3.在同一直角坐标系中，函数f(x)xa（x0），gx

1212xa的图象可能是（ ）

f42，则f3

. f225．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．

6．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. f(b)f(a)★7.在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(ax0b)满足f(x0)，则称ba函数yf(x)在区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．若函数4.若函数fx是幂函数，且满足f(x)x2mx1是[1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是 .

三、解答题

1－2，－8．点(2，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，2有：

①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

9.已知幂函数fxm2m1x32m在区间0,上单调递增. (1)求函数fx的解析式；

★(2)若函数yx2a2x3的图像关于y轴对称，且函数gx1f2x定义域和值域均为1,b，求实数a,b的值。

ab5的fx