阅读与思考 集合中元素的个数教学设计(教案)

《等差数列》教案

课型

复习课

授课日期

2007.10. 11 授课教师

刘雪蓉

课题

等差数列

班级

高二（9）班

教学目标：

1.要求学生理解并掌握等差数列的概念

2.了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法。

3.注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；

教学重、难点：

重点：①等差数列的概念。

②等差数列通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导。

②用数学思想解决实际问题。

教学过程：

一、课前检测

nn*anSaS3bS3a5nNnnn1nnn1设数列的前项和为．已知，，．设，b求数列n的通项公式；

nnSSaS3S2S3n1nn1nn1n解：依题意，，即，

n1nS32(S3)．

n1n由此得nn因此，所求通项公式为bnSn-32。

二、知识梳理

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

s奇nsn1s奇s偶ana中s2n1(2n1)an1）项数为奇数2n1的等差数列有：偶，

s奇ans偶an12）项数为偶数2n的等差数列有：ssnd，偶奇

s2nn(anan1)

2.等差数列的判定：{an}为等差数列

3.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 4.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

an1and（定义）2an1anan2anAnB（关于n的“一次函数”）SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）na1）若等差数列n的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。

a2）若等差数列n的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值

三、典型例题

例1

在等差数列{an}中，

(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；

(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82a1a15a114d103a45a144d90d83解：(1)方法一：

∴a60＝a1＋59d＝130．

方法2 815×3danama45a158nm45153，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋＝130．

2A212A12B84220A20B460B17∴(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，

∴Sn＝2n2－17n

∴S28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，

又S6＝6(a1a6)6(a110)22∴15＝6(a110)2即a1＝－5

而d＝a6a1361

∴a8＝a6＋2 d＝16

变式训练1

设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，SnTn为数列{n}的前n项和，求Tn. 1解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+2n（n－1）d.

∵S7=7，8(a1a8)442S8＝

S15=75，

∴7a121d7,15a1105d75,a13d1,a7d5.即1

解得a1=－2，d=1. Sn11n5∴n=a1+2（n－1）d=－2+2（n－1）=2. Sn1Sn1Sn1∴n1－n=2.

∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，公差为2. 19∴Tn=4n2－4n.

小结与拓展：

基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.

题型2

等差数列的判定与证明

例2

已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36. 求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，

a1＋2d＝5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.

∴an＝2n－1. 6a1＋15d＝36

变式训练2

在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝{bn}是等差数列；

an＋12an＋2nan证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝2n＝2n＝＋1＝bn＋1. 2n－1又b1＝a1＝1，

因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.

题型3

等差数列的性质

an，证明：数列2n－1

a例3

设等差数列n的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且a11，a46，S312，则a2010=_

_ _．

（答案：4020）

变式训练3

在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________

（.答案：52）

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.

∴S13＝13×(a1＋a13)＝213×(a5＋a9)13×8＝2＝52. 2

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

题型4

等差数列的前n项和及最值问题

例4

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0. （1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由. 解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S1313(a1a13)12(a1a12)2422＜0，即＞0，且＜0，解之得－7＜d＜－3. （2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大. a变式训练4 （2010福建理数3）设等差数列n的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于( A ) A．6

B．7

C．8

D．9 d6【解析】设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8，解得Sn11nn(n1)2n212n(n6)2362，所以当n6时，Sn取d2，所以最小值。

小结与拓展：等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Snd2dn(a1)n22利用二次函数的性质求n的值. 四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列. 3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.