积的乘方主要内容及教案内容

第课时

1.了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.

2.了解幂的有关运算法则之间的区别,灵活进行混合运算.

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力.

2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.

1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.

2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.

【重点】

积的乘方的运算性质.

【难点】

探索积的乘方的运算性质的过程.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P7.

导入一:

在前面的学习中,我们知道了幂的意义、同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则,你能分别用字母表示出来吗? [处理方式]

学生口答(要注意语言的准确性).

教师总结,课件展示如下: (1)幂:乘方的运算结果叫做幂.

=an.

个

(2)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

am·an=am+n(m,n都是正整数).

(3)幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

(am)n=amn(m,n都是正整数).

[设计意图]

回顾幂的意义、同底数幂的乘法法则及幂的乘方运算法则,为本节课的学习做好铺垫.

导入二:

地球可以近似地看做是球体,地球的半径约为6×103 km,它的体积大约是多少立方千米?已知:球的体积公式是V=πr3

[处理方式]

共同列出算式V=πr3=π×(6×103)3,提出疑问(6×103)3=?它是幂的乘方吗?(6×103)3有怎样的结构特征?从而引出本节课要研究和探索的积的乘方.

[设计意图]

对于球体积的计算公式前面已经接触过,在实际的计算过程中,会遇到积的乘方的计算问题,使学生感受到探索和掌握新知识的必要性,同时也可感受到数学无处不在,它来源于生活,又应用于生活,激起学生的学习兴趣.

[过渡语]

本节课,我们将继续探究有关幂的运算性质.

探究活动1

探索积的乘方的运算性质

比一比: (1)(1×2)4=

,14×24=

; (2)[3×(- 2)]3=

,33×(- 2)3=

; (3)

=

,

×

=

.

做一做: (1)(3×5)4=3(

)·5(

); (2)(3×5)m=3(

)·5(

); (3)(ab)n=a(

)·b(

).

[处理方式]

可以用公式(ab)n=an·bn(n是正整数)来表示这一规律.

【结论】

(ab)n=anbn(n是正整数).

积的乘方等于每一个因数乘方的积.

[设计意图]

通过学生的主动探究,利用幂的意义进行说理,不仅使学生知其然,而且还知其所以然,对于知识的掌握起到很好的推动作用,比死记硬背的效果好得多.由特殊到一般的探究,符合学生的认知规律和知识的呈现过程,较好地调动了学生的学习积极性,利用代数式表示积的乘方运算性质,使学生从感性认识上升为理性认识,由具体上升到一般,突出思维的简洁性和概括性.

探究活动2

积的乘方运算性质的拓展

【思考】

三个或三个以上的积的乘方,是否也具有上面的性质?怎样用公式表示? 【师生活动】

学生分组讨论,教师巡视过程中帮助有困难的学生,师生共同归纳结论.

【结论】

几个因数的积的乘方,就是把这些因数分别乘方,再把所得的幂相乘.可以用公式(abc)n=an·bn·cn(n是正整数)来表示.

[设计意图]

将运算性质拓展到多个因式积的乘方,更具有一般性和普遍性,也更有利于学生对知识的学习和掌握.训练了学生的思维,使学生掌握了学习的方法,有利于学生良好思维品质的培养.

(教材例2)计算.

(1)(3x)2;

(2)(- 2b)5; (3)(- 2xy)4; (4)(3a2)n.

解:(1)(3x)2=32·x2=9x2.

(2)(- 2b)5=(- 2)5b5=- 32b5.

(3)(- 2xy)4=(- 2)4x4y4=16x4y4.

(4)(3a2)n=3n(a2)n=3na2n.

[设计意图]

通过练习,进一步加深对幂的意义和相关性质的理解,让学生将自己的思考过程展现出来,进行交流、讨论,形成比较规范而简洁的解题格式.

探究活动3

积的乘方运算性质的逆用

计算底数为数字的幂的乘法,往往可以逆用积的乘方的性质进行简便计算.

计算.

(1)23×53;

(2)46×2.57; (3)29×39×

; (4)0.1252012×82014.

解:(1)23×53=(2×5)3=103.

(2)46×2.57=46×2.56×2.5 =(4×2.5)6×2.5=2.5×106.

(3)29×39×

=

=1.

(4)0.1252012×82014=0.1252012×82012×82

=(0.125×8)2012×82=64.

[知识拓展]

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个法则综合应用时,要注意运算顺序的合理性,幂的乘方和积的乘方属于乘方运算,同底数幂的乘法属于乘法运算,计算时我们应先算乘方,再算乘除,最后有同类项的进行合并,也就是属于整式加减运算.

1.积的乘方运算法则: (ab)n=anbn(n是正整数).

积的乘方等于每一个因数乘方的积.

2.拓展:(abc)n=anbncn(n是正整数).

3.逆用积的乘方法则:anbncn=(abc)n(n是正整数).

1.填空.

(1)(ab)6=(

)6·(

)6; (2)(2m)3=(

)3·(

)3=

; (3)

-

=(

)2·(

)2·(

)2=

; (4)(- x2y)5=(

)5·(

)5=

.

答案:(1)a b (2)2

m 8m3

(3)-

p q 2.计算.

(1)(ab)3=

; (2)(- xy)5=

; (3)

=

; (4)

=

; (5)(2×102)2=

.

答案:(1)a3b3

(2)- x5y5

(3)

(4)

22pq

(4)- x2

y - x10y5

(5)4×104

3.计算.

(1)

-

; (2)

-

; (3)(4a2b3)n; (4)2a2·b4- 3(ab2)2.

解:(1)原式=(2)原式=-

.

.

(3)原式=4na2nb3n.

(4)原式=2a2b4- 3a2b4=- a2b4.

第2课时

探究活动1

探索积的乘方的运算性质

探究活动2

积的乘方运算性质的拓展

例1 探究活动3

积的乘方运算性质的逆用

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第8页习题1.3知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第8页习题1.3数学理解第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.(2015·日照中考)计算(- a3b)2的结果是

(

) A.a5b

B.- a5b

C.a6b2

D.- a6

2.下列运算错误的是

(

) A.(- 2a2b)3=- 8a6b3

B.(x2y4)3=x6y12

C.(- x)2·(x3y)2=x8y2

D.(- ab)7=- ab7

3.下列算式中,结果不等于66的是

(

) A.(22×32)3 B.(2×62)×(3×63) C.63+63

D.(22)3×(33)2

4.计算[(- x2y)3]2·(- xy2)=

.

【能力提升】

5.计算.

(1)(x2y)3·x4; (2)(x2)3·[(- x)4]3; (3)(x3y2)2·(y3·y)4; (4)(a2b3)2+(- a)4·(b2)3.

【拓展探究】

6.用简便方法计算下列各式.

(1)(- 9)3×

-

×

;

(2)

-

·

.

【答案与解析】

1.C(解析:本题考查积的乘方,根据积的乘方的运算法则求解,需要注意本题的运算符号.) 2.D(解析:积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方,所以选项D错误.) 3.C(解析:选项C的运算属于合并同类项,结果应该等于2×63.故选C.) 4.- x13y8

5.解:(1)x10y3. (2)x18. (3)x6y20. (4)2a4b6.

6.解:(1)(- 9)3×

-

×

=(- 9)×

-

×1)1998×

-

=- .

3=23=8. (2)

-

·

= -

×

-

=(-