回顾与思考板书设计及意图

13.4 将军饮马

——几何最值问题教学设计

一、教学内容解析

为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学***移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

基于以上分析，本节课的教学重点确定为：

[教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析

新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：

[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断

八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解

决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答：“当点A、B在直线需要将其转化为“直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难. 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到. 在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到. 教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：

[教学难点] 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 四、教学策略分析

建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力. 教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情. 学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力. 五、教学基本流程

探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考

六、教学过程设计

（一）探索新知

1、建立模型

例1：如图1，已知△ABC为等边三角形，P为高线AH上一动点，D为AB上一定点，请确定P的位置使PD+PC最小.

基本模型

图1

严格证明：DPPCDCDP'P'CP'为使和最小的点

【设计意图】以等边三角形为背景，首先考虑不用做对称，直接连接C,D利用“两点之间，线段最短”为依据解决问题，对学生来说思维难度较小。

例2：如图2，已知△ABC为等边三角形，P为高线AH上一动点，D为AB上一定点，请确定P的位置使PD+PB最小.

基本模型

图2

2、解决问题

我们把该题一般化成为了如下模型：如图，如何将点B“移”到满足直线称点从而实现CB到CB’等线段的转化）

的另一侧B´处，且上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？（引导学生想到做已知点的对

严格证明：为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？

师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程. 证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´. 由轴对称的性质可知：

1当C´与C不重合时

○∵BC=B´C ，BC´=B´C´

AB´＜AC´+C´B´

∴AC+BC＜AC´+C´B 2当C´与C重合时

○AC+BC=AC´+C´B 总之，AC+BC≤AC´+C´B 即AC+BC最短

∴AC+BC=AC+B´C=AB´

AC´+BC´=AC´+B´C´

师生共同总结：我们可以通过做定点关于动点所在直线的对称点，实现等线段的转化，化曲为直，利用两点之间线段最短，得以求得最短路径。

［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.

（二）运用新知

变式1：如图3，点P是∠MON内一定点，请分别在射线OM，ON上作点A、B，使△PAB的周长最小

变式2：如图4，点P，Q为∠MON内的两定点，请分别在射线OM，ON上作点A、B，使四边形PAQB的

周长最小。

图3

（三）拓展新知

图4

变式3：如图，

∥

，A、B分别为直线外定点，请在

和

上分别作点M、N使得

最短.

问题解决：

例2：已知，如图△ABC为等边三角形，P、D分别为高线AH、边AB上的动点，请确定P的位置使PD+PB最小.

利用直线外一点到直线的连线中，垂线段最短

典例练习1：如图，四边形ABCD中，∠C=60°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一点M,N，使△AMN的周长最小，求∠AMN+∠ANM的度数.

答案解析：

作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故选：B

［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高. （四）提炼新知

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1、本节课研究问题的过程是什么？

2、解决上述问题运用了什么知识？

3、在解决问题的过程运用了什么方法？

4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？

［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.

（五）课外思考

典例练习2：如图，已知∠AOC=15°，∠BOA=30°，CD为该圆的直径且长度为2，请在直径CD上确定一点P，使PA+PB最小，并求出最小值.