平方差公式的应用教学设计(第一课时)

七年级数学北师大版下册第一章

整式的乘除

5 平方差公式的应用（第2课时）

陕西省西安市蓝田县北关实验学校 程小玲

课时安排说明: 《平方差公式》共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.

一、

学生起点分析

学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法. 学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.

二、

教学任务分析

学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能

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运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决. （一）、本节课的教学目标是：

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力. 2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心。

（二）、教学重点及难点

教学重点：平方差公式的推导和应用。

教学难点：应用平方差公式的结构特征判断题目能否应用平方差公式。

（三）、教学方法

趣味故事，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。通过小组交流合作的形式，构建以教师为主导、学生为主体的自主探索的课堂学习环境，使学生在探索合作的过程中掌握知识，提高技能，形成自己的观点。

三、教学过程设计

基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了七个教学环节：（一）、趣味故事引入新课。（二）、探究新知、发现结论。（三）、小试牛刀。（四）、例题精讲。（五）、挑战自我。（六）、回顾与反思。（七）、布置作业。

第一环节

趣味故事、引入新课

活动内容：灰太狼开了一家租地公司,把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一天他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村中,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说到:“村长您吃亏了!”慢羊羊村长非常吃惊…同学们,慢羊羊村长有没有吃亏？你能告诉慢羊羊村长这是为什么吗? (小组讨论，指名上板画图)

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原来5米现在(a+5)米a米a25米(a-5)(a+5)(a-5)相等吗？

活动目的：利用趣味故事引入,为研究平方差公式创设研究背景.激发学生的好奇心,培养学生的学习兴趣。

实际教学效果：在导入过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础. 第二环节 探究新知、发现结论

活动内容：

1.

利用多项式与多项式相乘的法则计算下列各题

（1）(x ＋

2)( x－2)=

（2）(m＋

5n)( m－5n)=

（3）(3y ＋

z)(3y－z)=

观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？

2.(1)平方差公式;两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（2）、(a+b)(a−b)=a2−b2

（3）、平方差公式的结构特征：

(a).左边是两个二项式相乘。这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

(b).右边是两项的平方差，即;相同项的平方减去相反项的平方。

(c.)a,b 既可以是数字也可以是代数式。

活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述. 实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这三个算式的特征，

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初步得到猜想，总结规律. 活动内容：

３．验证平方差公式

解决课前趣味故事、并验证自己的猜想. 原来5米现在(a+5)米a米a25米(a-5)(a+5)(a-5)相等吗？

aaaba`b(a + b) (a -b)a2 -b2

活动目的：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律. 实际教学效果：通过解决课前趣味故事、并验证自己的猜想。在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：

(a+b)(a−b)＝a2−b2

两数和与两数差的积，等于它们的平方差. 第三环节 小试牛刀、巩固提高

活动内容：

1、判断下列各题能否用平方差公式

4

(a+b)(a-b)=a2-b2计算？

（1）

(20-5)(20+5) （2）

(-m+n)(-m+n)

解. （4）

(a+b)(-a-b)2、判断正误并改正

（3）

(a+2b)(2a-b) （4）

(a+b)(-a-b)

(1)(x+3)(x-3)=x2-3

(2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1

(3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 活动目的：通过判断题和改错的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合判断题和改错的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a和b. 第四环节

例题精讲

例：利用平方差公式计算

(1) (3x + 2)(3x – 2 ) (2) (b+2a)(2a-b)

(3) (-x+2y)(-x-2y)

活动目的：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.

实际教学效果：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a和b，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力. 第五环节

挑战自我1、挑战自我

7个金蛋你可以任选一个,如果出现“恭喜你”的字样，你将直接过关;否则将有考验你的数学问题，当然你可以自己作答,也可以求助你的同学.

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3154672

1填空题3x+y(3x-y).( )=9x2-y2

2( )( )=25-a²5+a 5-a2、计算：创新题

1111（1）．你能求出(1)(1)(1)(112n)的值吗？

24162（2）．观察下列各式：

(x1)(x1)x21

(x1)(x2x1)x31

(x1)(x3x2x1)x41

根据前面的规律，你能求出(x1)(xnxn1x1)的值吗？

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活动目的：，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.

实际教学效果：挑战自我和创新题的练习题中，学生在确定公式中a和b时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，同时提醒学生，不要漏掉负号和括号，帮助学生突破难点。

第六环节 回顾与反思

回顾与反思数学日记：年学习课题：知识归纳与整理：悄悄话：老师我想对你说月日星期自我评价：天气:我的困惑：

课堂小结：

1、平方差公式; （1）、语言叙述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（2）、公式表达：（a+b）（a－b）=a2－b2

（3）、公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差. 2．应用平方差公式的注意事项：

1）注意平方差公式的适用范围

2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程

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中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的.

板书设计：

1.5平方差公式

1、平方差公式; （1）、语言叙述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（2）、公式表达：（a+b）（a－b）=a2－b2

（3）、公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.

例：利用平方差公式计算

(1) (3x + 2)(3x – 2 )

(2) (b+2a)(2a-b)第七环节布置作业

1. 必做题：教材２１页第一题

(3) (-x+2y)(-x-2y)

2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？

四、教学设计反思

平方差公式是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种简便计算，它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.运用平方差公式计算一定要看是否符合公式的特征：(a－b)(a+b)=a2－b2，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母

，单项式，也可以代表多项式.引导学生经历探索平方差公式的过程，指导学生发现公式的特点：

1、左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边为这两个数的平方差. 2、公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式.

提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节.本节课从复习旧知识入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法

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与思路，并体会到数学教材的在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣.

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