小结特级教师教学实录

一轮复习《函数的单调性》教学设计

一、教学目标

知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；通过对函数单调性的判断和证明，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养。

情感、态度与价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

二、教学重点

函数单调性的概念、判断。

函数的单调性是函数的最重要的性质之一，它在解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用。

三、教学难点

根据定义或导数证明函数的单调性。

由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断和证明函数的单调性是本节课的难点。

四、教材分析

函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下：

（1）函数的单调性是研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题以及导数的学习中均需用到函数的单调性；利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

1

五、学情分析

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等简单函数，能画出这些简单函数的图像，从图像的直观变化，进一步巩固函数的单调性。

从学生现有的学习能力看，通过初中、高中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

六、教学方法

启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；

激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

七、教学手段

计算机、投影仪

八、教学过程

（一）基础知识梳理: 函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

2

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 设计意图：通过知识梳理，让学生回顾本节所学知识，接下来能够结合问题来应用。

（二）基础检测：

设计意图：通过基础检测判断学生掌握基础知识的情况，做好下一步要提到的细节问题的铺垫。

（三）例题与训练：

规律方法：

1、函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. 变式：下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1

) 1A．f(x)＝x

B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝－ex

D．f(x)＝ln(x＋1) 设计意图：通过例题和变式来引导学生掌握判断函数单调性的方法。

3

考点二

证明函数单调性

例题：已知函数f(x)2x1x1，判断并证明函数f(x)在[0,)上的单调性。

解：函数 在 上是单调增函数．

证明如下：任取

，

，且

，则f(xf(x333(x1x2)

1)2)2x1(2x)121(x11)(x21)因为

，

，且

，

所以

，即

所以 在 上是单调增函数．

规律方法：证明函数的单调性的方法有：定义法、导数法。

设计意图：通过例题和变式引导学生掌握定义法证明函数单调性。

（四）课堂检测

1.设定义在[-1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，

则函数y＝f(x)的增区间为________．

2．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为(

A．[1,2]

B．(1,2) C．(－∞，1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 3．证明函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(a，＋∞)上是增函数．

4 )

a4．通过定义讨论函数f(x)＝x＋x(a>0)的单调性．

设计意图：通过课堂练习来检测课堂效果，练习的安排均是对本节内容的检测，而且最后的两个题为下节的学习做了铺垫。

（五）总结提升：

1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：

(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断。

2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法。

设计意图：通过总结提升，让学生归纳总结，提炼本节要点。

（六）作业布置：课时作业本235页2、3、6、7 （七）板书设计：

函数的单调性与最值

1、函数的单调性：数学语言，图像语言，区间上的单调性，单调区间

2、等价形式

解法

解法

例题

变式

5