习题1.2PPT配套优秀教学设计内容

专题三

数列

高考解答题专讲(三)

数列的综合应用

一、等差数列、等比数列的证明

证明数列是等差(比)数列的两种基本方法

an＋1(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N)⇒{an}是等差数列；a＝n*q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列；

(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；2anan＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．

＋1＝an·【例1】

(2017·江西红色七校一联)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2,2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝1，bnbn＋1＝λ·2an. (1)求证：数列{an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在正实数λ，使得{bn}是等比数列？并说明理由．

[解]

巧造等差或等比判定方法

(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；

(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；

*(3)a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

[对点训练]

31．(2017·长春市高三质量监测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an－1(n∈N*)．

1(1)若数列{bn}满足bn＝an－2，求证：{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn. 11a－[解]

(1)证明：由已知得an＋1－2＝3n2(n∈N*)，从而有bn＋11＝3bn，又b1＝a1－2＝1，所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．

(2)由(1)得bn＝3n－1，从而an＝3n－11＋2，

111nn－1n－1所以Sn＝1＋2＋3＋2＋…＋3＋2＝1＋3＋…＋3＋2＝3n＋n－1. 2二、数列的通项与求和

1．求数列的通项公式的方法

(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与SnS1，n＝1，间关系式时适合用an＝求得；(3)依据递推关系变形Sn－Sn－1，n≥2

为等差(等比)数列求得．

2．求数列的前n项和的方法

结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法．

[解]

(1)设第一行组成的等差数列的公差是d，各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0)，则a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)⇒q(1＋2d)＝6，a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)⇒q2(1＋d)＝8，

解得d＝1，q＝2，a1,2＝2⇒an,2＝2×2n－1＝2n. n123n(2)bn＝2n，则Sn＝2＋22＋23＋…＋2n，

1123n则2Sn＝22＋23＋24＋…＋n＋1，

2

n＋211111n两式相减得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＋1＝1－n＋1，

22n＋2所以Sn＝2－2n. a1，n[探究追问]

若例2(2)中bn＝＋(－1)na1，n，如何求Sn?

an，2[解]

由例题可知bnn＝2n＋(－1)nn，

S＝123nn2＋22＋23＋…＋2n＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]．

设T123nn＝2＋22＋23＋…＋2n，

则1T12＋23…＋n2n＝223＋24＋2n＋1，

两式相减得1T1＋11＋1nn＋22n＝222＋23＋…2n－2n＋1＝1－2n＋1，

所以T＝2－n＋2n2n. n，n为偶数，又－1＋2－3＋…＋(－1)n·n＝21

－＋n2，n为奇数，

2＋nn＋2故S＝2－2n，n为偶数，n3－nn＋22－2n，n为奇数.

求数列的通项及前n项和的常用方法

(1)求数列通项公式的方法：基本量法、公式法、累加法、累乘法、构造法．

(2)求数列前n项和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法．

[对点训练]

2．(2017·南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列．

(1)求等比数列{an}的通项公式；

1(2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列b的前n项和Tn. n[解]

(1)设数列{an}的公比为q，

∵2a1，a3,3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，

即2a1＋3a1q＝2a1q2，

1化简得2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－2. ∵q>0，∴q＝2. ∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝2n，n∈N*. (2)∵bn＝(n＋2)log2an＝n(n＋2)，

11111－∴b＝＝2nn＋2，

nn＋2n1111Tn＝b＋b＋…＋＋b

bn－1n12111111＝21－3＋2－4＋3－5＋…＋



111111－n＋－＋－

nn－2n－1n＋1n＋211111＋－－

＝22n＋1n＋22n＋33＝4－2. 2n＋3n＋2

[解]

(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，

从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．

令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知

12322n－12222. Tn＝x1x3…x2n－1＝24…2n1n＝. n＋1n＋11当n＝1时，T1＝4. 222n－12n－1－12n－22n－122＝当n≥2时，因为x2n－1＝＝2n2>22n2n2nn－1＝n，

n－111212所以Tn>2×2×3×…×n＝4n. 

1综上可得对任意的n∈N，均有Tn≥4n. *

对于数列与函数、方程相结合的问题，通常利用函数与方程的知识，结合图形，得出关于数列相邻项an与an＋1之间的关系．根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．

[对点训练]

3．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．

(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截an1距为2－ln2，求数列b的前n项和Tn. n[解]

热点课题13

数列与不等式的综合问题

[感悟体验]

3

(2017·临川质检)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a1＋33a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an)2，且an>0. (1)求数列{an}的通项公式；

11(2)设数列aa的前n项和为Sn，不等式Sn>3loga(1－a)对任意nn＋2

的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

332[解]

(1)由a1＋a32＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an)知

332a31＋a2＋…＋an＋1＝(a1＋a2＋…＋an＋1)，

22则a3n＋1＝(a1＋a2＋…＋an＋1)－(a1＋a2＋…＋an)＝an＋1[2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1]，

又an>0，所以a2n＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1，

则a2n＝2(a1＋a2＋…＋an－1)＋an(n≥2)，

2故a2n＋1－an＝an＋an＋1，所以an＋1－an＝1. 2又a3＝a11，所以a1＝1. 又a22＝2a1＋a2，所以a2＝2，所以a2－a1＝1，即当n≥1时，有an＋1－an＝1，

所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. (2)由(1)知an＝n，

11111则＝＝2n－n＋2，

anan＋2nn＋2111111111所以Sn＝aa＋aa＋…＋＝21－3＋22－4＋…＋2anan＋21324113111＋－＝－，

nn＋2n＋1n＋2421则Sn＋1－Sn＝>0，所以数列{Sn}单调递增，所以(Sn)minn＋1n＋31＝S1＝3. 111要使不等式Sn>3loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要3>3loga(1－a)即可．

1易知0a，解得0

1所以实数a的取值范围是0，2. 