小结新颖的课程导入教案

第一章

集合与函数概念小结

祥云一中

邹家玉

【教学目标分析】

知识与技能：

1、集合的相互关系和基本运算；

2、函数的三要素：定义域、值域、解析式及其求法；

3、函数的性质：奇偶性、单调性的相关应用；

过程与方法：

1、体会集合的包含关系与集合的运算的有机结合，提高分析问题的能力；

2、体会函数三要素对函数本身的影响，以及在具体问题中的实际解决方法；

3、体会单调性与奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力；

情感态度价值观：

1、体会具体问题具体分析的辩证思想和分类讨论思想；

2、体会转化化归用数形结合思想的实际应用，培养学生的逻辑思维能力；

3、培养学生的动手能力、运算能力，分析问题和解决问题的能力．

【教学重难点分析】

1、函数性质的灵活应用；

2、分类讨论思想和数形结合在教学过程中的渗透和灌输；

3、函数性质在实际应用问题中的渗透和应用．

【学情分析】

1、函数是整个高中阶段的入门知识，同时也是难点知识，更是今后学习高中数学的基础，学生刚从初中步入高中，还没有完全掌握高中数学的学习方法和规律，对知识的归纳和整理还存在问题，所以应给学生一个系统的理论和完整的应用体系；

2、所融入教学的思想方法学生还暂时不能完全消化，所以得慢慢的以各种形式不断渗透，让学生真正明白该用数学的方法来研究数学；

3、知识的融会贯通是数学教学中很难达到的高度，要让学生既要掌握理论知识，还要会对知识的应用形成自己独有的分析方式，不能让学生刚开始就对数学产生畏难情绪．

【教学设想】

1、以导学案完成学生理论知识的梳理，让学生形成完整的知识体系；

2、用重点例题对学生知识的应用进行剖析，引导学生形成分析问题的能力；

1

3、对难点题型和重要的思想方法让学生以小组探究的形式完成知识的重组过程；

4、对重点知识再以练习和课后作业的形成让学生加深理解．

【教学设计】

一、知识梳理，导学细化：

（一）集合：

1、集合中元素的三大特性：

、

、

．

2、集合的表示方法：

、

、

．

3、集合的分类：

（1）按元素性质分：数集、点集；（2）按元素个数分：有限集、无限集；

4、常用数集：

自然数集：

，正整数集：

，整数集：

，有理数集：

，实数集：

．

5、元素与集合的关系（属于）：用与表示；

6、集合与集合的关系：

（1）子集：

；

性质：AA（任何一个集合是它本身的子集）

（2）真子集：

；

（3）集合相等：

；

7、空集：性质：

，

．

8、若card(A)n，则集合A有

个子集，有

个真子集，有

个非空真子集。

9、集合的运算：

（1）交集：AB

；（2）并集：AB

；

（3）补集：CSA

．

（4）混合运算：

①ABABAABB

②(AB)A，(AB)B；

③A(AB)，B(AB)，(AB)(AB)

2

（二）函数的概念：

1、函数是一种对应法则：f:AB；

2、集合A,B必须为

；

3、从A到B的对应必须满足：

；

4、函数的定义域是指

；值域是指

。

5、函数的三要素是指

、

、

。

6、相同函数是指

。

（三）函数的定义域：

常见函数定义域的求法：

1、开偶次方根：

；

2、分式：

；

3、对数：

；

4、0次幂：

；

5、有限个函数四则运算得到的新函数的定义域：

；

6、复合函数的定义域：

（1）已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域是指

；

（2）已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域是指：

．

（四）函数的奇偶性：

1、函数存在奇偶性的前题：

．

2、奇偶性的判断：

若

，则函数为奇函数；若

，则函数为偶函数．

3、判断奇偶性的注意事项：

（1）能化简的要先化简后判断（但定义域不能受到影响）；

（2）化简时要注意合理变形，运用分子、分母有理化；

（3）化简时要注意定义域的限制。

4、奇函数的图象关于

对称；偶函数的图象关于

对称；反之亦真．

5、奇函数的图象关于原点对称，但奇函数的图象不一定过原点（如：f(x)21），过原点x的函数也不一定是奇函数（如：f(x)x）；但奇函数若在原点有定义，必过原点，即若x0，则f(0)0．

3

6、在公共定义域内：奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇；

（五）函数的单调性：

1、单调性的定义：

如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，

（1）若都有

，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；

（2）若都有

，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

2、复合函数的单调性：同“增”异“减”。（指出：应先考虑函数的定义域）

3、奇偶性与单调性的关系：

奇函数在y轴的两侧具有相同的单调性；

偶函数在y轴的两侧具有相反的单调性．

4、单调性的运算：

增

+ 增

增

减

+ 减

减

增

—减

增

减

—增

减

二、重点剖析、方法导引：

【题组一】集合间的相互关系和运算：

例1、集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若ABA，求实数m的取值范围．

222例2、设集合Ax|x4x0，Bx|x2(a1)xa10，若ABB，求实数a的取值范围．

【方法导引】

1、已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集要进行分类讨论，做到不遗不漏：

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式（组）的解集，常借助数轴求解，此时需注意端点值能否取到．

4

【题组二】求函数的解析式：

例1、已知f(x1)4x3x，求f(x)．

例2、已知f(x

例3、已知二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式。

例4、设f(x)满足3f(x)2f()4x，求f(x)．

例5、f(x)是R上的函数，且满足f(0)1，并且对任意实数x，y有11)x22，求f(x1)．

xx1xf(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的解析式．

【方法导引】

求函数解析式的方法：换元法、整体代换法、待定系数法、解方程组法、赋值法．

（1）换元法：知解析式f[h(x)]g(x)，求f(x)的问题。往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)化简，然后再换元即可（将t又换成x）；

（2）整体代换法：知解析式f[h(x)]g(x)，求f(x)的问题。若h(x)与g(x)有明显的联系，则可考虑直接将g(x)变形成h(x)的形式，再整体代换即可．

（3）待定系数法：给出函数特征，求函数解析式。比如给出函数是二次函数，可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a、b、c是等定系数，要据题设条件，列出方程组，解出a、b、c即可．

（4）解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(x)、1等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求f(x)

5

出f(x)．

（5）赋值法:当求与抽象函数有关的函数解析式时，一般考虑赋值法。一般情况下可令x0,1,1或令y0,1,1之类，再者可令yx等．

【题组三】求函数的值域：

例、求下列函数的值域：

x2x1、yx1

2、y2xx1

3、yx12x

4、y2

xx12

【方法导引】

求值域的常见方法：

1、观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

2、配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域；

3、换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本函数的取值范围求函数的值域；

axbax2bxc4、分离常数法：型如y的全部函数、型如y2的部分函数可以考虑cxddxexf此法求解．

【题组四】

单调性与奇偶性的综合应用：

例1、（1）若奇函数f(x)是定义在(1,1)上的增函数，试解关于a的不等式f(a2)f(a24)0．

（2）设定义在[2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围．

6

例2、函数f(x)对任意的a,bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1．

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3．

【方法导引】

1、此类问题的第一要素是要考虑定义域对函数本身的限制，所以应先求定义域；

2、对于奇函数，若在xD上单调递增，且有f(x1)f(x2)，则可变形为解不等式组：

x1D

x2D；其他情况同理可得等价的不等式组；

xx213、对于偶函数，核心要注意f(x)f(x)f(|x|)．若偶函数定义在[a,a]上，在[0,a]ax1a单调递增，且有f(x1)f(x2)，则可变形为不等式组：ax2a，其他情况同理可得|x||x|21等价的不等式组．

三、小组探究、难点突破：

【探究一】利用函数的单调性求参数的取值范围：

例1、若函数f(x)

探究目的：体现数形结合思想；体现分段函数的化归与转化思想，分段函数既分段独立，又相互联系．

【探究二】含参数的二次函数求值域问题：

例2、（1）求函数f(x)x2ax1（a为常数）在[0,2]上的最值．

（2）求函数f(x)x2x2在区间[t,t1]上的最小值g(t)．

7 22(2b1)xb1,x0在R上为增函数，求实数b的取值范围．

2x(2b)x,x0

探究目的：体现数形结合思想与分类讨论思想，这两小题属于典型的“轴动区间定”和“轴定区间动”问题，要画出图形，结合图形再分三类讨论：轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧．

四、课堂训练、查缺补漏：

1、含有三个实数的集合可表示为a,等于 ；

2、集合x|0＜|x1|＜4，xNb,1,也可表示为a2,ab,0,则a1999b2000的值

a的真子集的个数为（

）

A、15

B、31

C、16

D、32 3、已知集合A{y|yx2x1}，B{b|b4a22a1}，试判断集合A与集合B的关系；

4、下列函数与yx1是同一函数的是（

）

2x2123A、y

B、y(x1)

C、yx1

D、y3(x1)

x15、已知3f(x)2f(x)x3，则f(x)

．

6、（1）已知函数yf(x)的定义域为(2,2)，则函数yf(2x1)的定义域为

；

（2）已知函数yf(3x2)的定义域为(1,1)，则函数yf(x)的定义域为

；

7、已知f(x)是R上的奇函数，且x(,0)时，f(x)xlg(2x),求f(x)．

a(2x1)28、（1）已知函数f(x)是奇函数，则a

；

2x1（2）设函数f(x)(x1)(xa)为奇函数，则a

；

x539、若f(x)xaxbx8，f(2)10，则f(2)

；

10、函数y1x2x32的单调递增区间为

，单调递减区间为

；

8

11、如果函数f(x)ax2bxc(a0)对任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么，f(1)、f(2)、f(4)的大小关系为：

；

12、（2009，辽宁）已知偶函数f(x)在区间[0,)上单调递增，则满足f(2x1)f(1)的x的取值范围是

；

13、F(x)(1

14、函数f(x)x2x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和MN

；

15、若函数f(x)x22xm在[2,)上的最小值为2，则实数m

；

16、已知函数f(x)2)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，判断f(x)的奇偶性．

x21(1a2)x23(1a)x6的定义域为R，求实数a的取值范围．

9