习题1.2教学实录与评析

函数及其表示

【考纲说明】

1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

3、了解简单的分段函数，并能简单应用。

4、本部分内容在高考中约占10分。

【趣味链接】

教室里有40个人（看成集合A ），刚好有40张椅子（看成集合B ）。如果你们很听话，每人坐一张椅子，就是一对一映射。但是如果你喜欢那个女生，你跑去和她共用一张椅子，也就是两个人都对应着同一张椅子，这就是多对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子，这样很霸道。也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系，但是一个人不能坐多张椅子。也就是集合A 中的很多元素都可以对应着集合B 中的同一个元素，但是集合A 中的一个元素不能同时对应着集合B 中的多个元素。

于是，总的一句话，映射就是集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应。这句话有两个词很重要，一个是任意，另一个是唯一。

而函数呢，只要映射当中的集合A 和集合B 里面的元素都是数就叫做函数了。

【知识梳理】

一、函数的概念

1、设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合

B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:，f 表示对应法则。1、设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:，f 表示对应法则。

给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈。如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．

注意：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2、函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为)(=x f y 。

3、函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。显然，值域是集合B 的子集。

4、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。

5、区间的概念及表示法

设,a b 是两个实数，且a b <，

满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；

满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；

满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；

满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞。

注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <。

6、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数。

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈。

⑥零（负）指数幂的底数不能为零。

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其

复合函数的定义域应由不等式解出。

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。

二、函数的表示方法

函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

2、列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

3、解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

三、分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。

四、求函数解析式常用的方法

1、待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再

根据题意列出方程组求出系数。

2、

换元法

换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

3、配凑法

已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

4、消元法，此方法的实质是解函数方程组

消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

5、赋值法

赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

【经典例题】

【例1】（2009山东理）定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为（

）

A.-1

B. 0 C.1 D. 2 【例2】（2009山东文）定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为（

）

A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==, 2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-, 2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B. 【例3】（2009江西理）函数y = 的定义域为（

）A ．(4,1)-- B ．(4,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1]- 【例4】（2009四川）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则) 25(f 的值是

(

) A. 0

B. 21 C. 1 D. 25 【例7】（2011福建）定义在R 上的偶函数

()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()

f x 的单调性不同的是（

）

A ．

21y x =+

B. ||1y x =+ C. 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩

D ．,,0x x e x o y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩

的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增。而函数()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增。而函数

21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数

⎩⎨⎧++=0,10,123

x x x x y 在（]0,∞-上单调递减，理由如下y ’=3x 2>0(x<0),故函数单调递增，

显然符合题意；而函数

⎪⎩⎪⎨⎧≥=-0,0, x e x e y x x ，有y ’=-x e -<0(x<0),故其在（]0,∞-上单调递减，

不符合题意，综上选答案C 。