小结第二课时教学设计

解函数应用题型的策略

彭山一中

唐健

一、什么是函数应用题

函数应用题就是函数的思想、方法在日常的生产、生活中的应用。

二、函数应用题的综合性

函数应用题的综合性很强，可以与方程、不等式、导数、数列、三角函数、概率等等建立联系，所以有时显得难度较大，但纵观近几年高考试题，函数应用题都是高考的重点的内容，但难度都不大。

三、函数应用题的培养目标

要求学生通过实际问题，进行抽象概括，建立合理的数学模型，再利用推理演算求出数学模型的解，从而还原说明实际问题的解，这样有利于培养学生阅读、分析数学应用题的能力，有利于让学生掌握数学思想方法，例如：转化、数形结合、求最值等等，更有利于培养学生解决实际问题的信心及能力。

四、函数应用题中蕴含的数学思想

1、

等价转化思想

也就是说如何将一个实际问题进行抽象概括成一个数学问题，从而利用数学中的推理演算来求出它的解，例如：成本、销量、定价、利润之间的关系，要使利润最大化，可以通过建立一个数学模型来计算出之间的比例如何分配可以达到利润的最大化，从而使企业盈利。

2、

分类讨论思想

也就是说在实际问题转化为数学模型后会遇到要利用函数进行求解时可能会出现的实际问题。例如：数学建模转化为yaxb，想利用这个函数的单调性解决问题，恐怕就需x要要分类讨论了，否则易发生漏解，甚至错解的可能。

3、

数形结合思想

也就是说在求解数学模型时，可以结合数学图形进行求值。

五、解数学应用题，可以按以下四步进行：

1、

读懂题意，看清条件及问题

2、

通过抽象概括，建立合理的数学模型

3、

通过推理演算，求出数学模型的解

4、

还原说明实际问题的解

下面通过几个高考题来阐述说明

例1、（08上海理10）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是

. 分析：本题是一道立体几何与解析几何紧密结合的一道题，用到的知识都很简单，但理解题意是本题的解题的关键。首先导航灯的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，其实是说明导航灯垂直于焦点位置立于海平面上，其次，进入浅水区的判断依据是船进入椭圆内（含边界），也就是点在椭圆内（含边界）的条件，其实就是点与椭圆的位置关系。我们知道要判断

22x0y0x2y2p(x0,y0)在椭圆221的内部就是221即可，或者是利用椭圆第一定义

ababPF1PF22a也可以判断。所以，本题就可以解决了。

参考解析如下（略解）：由已知船到甲投影所在焦点的距离为h1cot1，船到乙投影所在焦点的距离为h2cot2，若船进入椭圆形的浅水区，则

h1cot1h2cot22a

例2、（08湖北理20）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

1x2(t14t40)e450,0t10,

V(t)4(t10)(3t41)50,10t12.（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i1ti表示第1月份（i1,2,,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）. 分析：本题是一道分段函数应用题与导数、不等式紧密结合的一道题。题意比较容易理解，但要注意应用题的现实意义，不如：月份就不能是分数要为整数，时间也要为整数等等，更重要的是本题是分段函数中的最值问题要用到导数来求最值，是本题的难点所在。

参考解析如下：

（Ⅰ）①当0t10时，V(t)(t14t40)e21x45050，

0t4. ②当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，

10t12. 综合得0t4,或10t12；

故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到. 1231t由V′（t）=c(tt4)c4(t2)(t8),

424令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去). t V′(t) V(t) (4,8) +

8 0 1t41

(8,10) -

极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

例3、（08湖北文19）要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

分析：本题是一道数学建模、函数、不等式的综合运用的一道题。难度较小，因为是文科题，也千万要注意不等式中等号成立的条件，否则易造成最值取不到产生错误的解。比如：yaxb时，等号成立的条件不满足时，应转化成此“双勾函数”的单调性来解决，这x是文科生在这个地方很容易出现的错误，应千万注意！

参考解析如下：

设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，＞25 因为x－20＞0，所以S≥2y25,其中x＞20，y236000025(x20)1850024500.

x20当且仅当36000025(x20)时等号成立，

x2018000+25,得y＝175，

x20此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，

故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小

例4、（08江西文18）．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．

（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率

分析：本题是一道函数应用题与概率结合的常规题型，也是高考的必考内容，属于易题范围，所以要求学生做对、做完整、做规范。概率应用题对文科生的考查不外乎就是独立事件及互斥事件。所以分析题意是独立事件还是互斥事件就是解题的关键所在，但学生在此处易出现纰漏，还有就是解题的格式不规范。所以要注意加强练习及讲评。

参考解析如下：

解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P(A)0.20.40.40.30.2

（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P(B)0.20.60.40.60.40.30.48

综上所诉：函数的应用题是高考的重点内容，涉及面较为广泛，分值大概在15—20分之间，占了很大的比重，但这类题的难度都不大，所以应加大联系量，加强讲评，使之能拿到较好的分数。