习题1.2第一课时教学设计

教学设计

《函数的表示法》习题1.2 教学分析

课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．

课时安排

1课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方

法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．

【自主预习】

主题1：函数的表示法——解析法

某种茶杯的单价为10元，购买的个数为x，所花费用为y，则购买茶杯的个数x与所花费用y之间存在怎样的函数关系？y与x的关系能否用一个式子表示？

用文字语言描述：所花费用y等于单价10乘以购买个数x.

⇓

用符号语言描述：_____________.

⇓

解析法的定义：

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法

主题2：函数的表示法——列表法与图象法

1.如图是某省本科一批(理科)分数线变化曲线，根据图象回答下面的问题：

y=10x，x∈N.

请根据表格回答下面的问题. (1)表格中两变量存在函数关系吗？

提示：存在，它表示浓度是距离的函数. (2)自变量的取值集合是什么？函数的值域是什么？

100，200，300，500}.值域为{0.678，0.398，0.121，提示：自变量的取值集合为{50，0.05，0.01}.

(1)

图中的图象能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？

(2)

提示：能，表示一批分数线是年份的函数，其中年份为自变量. (2)图中的函数关系能用解析式表示吗？

提示：不能，因为自变量年份与本科一批分数线的对应关系比较复杂. 2.下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表

通过以上两个实例试着概括你对图象法、列表法的认识. 与污染源距离

50

100

200

300

500

氰化物浓度

0.678

0.398

0.121

0.05

0.01

图象法：__

用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 列表法：__列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法

【深度思考】

结合教材P19例3你认为三种表示方法各有怎样的适用

范围？

列表法：适用于定义域为有限集的情况

图象法：适用于任何函数，但复杂函数不易画图

解析法：适用于对应关系有明显数量关系的情况. 【预习小测】

1.已知f(x)=2x+3，则f(a)=

(

) A.2a+5

B.2a+3

C.2a+1

D.2a-1

【解析】选B.因为f(x)=2x+3，所以f(a)=2a+3. 12.若

f()x1

，则f(2)=

(

) xA.2

B.

C.3

D. 11

，则x=

，

【解析】选D.令t=tx11

+1，所以f(2)=1所以f(t)=

+1，即f(x)=xt3.已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6，f(x)的解析式

为

. +1 2k

(k≠0)，

【解析】设反比例函数f(x)= xk18

=-6，解得k=-18，所以f(x)=-

. 则f(3)=3x答4.已知函数f(x)由下表给出，求f(3).(仿照教材P19例

3的解析过程)

【解析】由表格知，当2

1≤x<2

2

2

f(x)

1

2

案：f(x)=-18

x

【备选训练】1.已知函数f(x)由下表给出，则f(2)=

(

x

1

2

3

4

f(x)

2

3

4

1

A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】选C.根据函数的表格表示法可知f(2)= 2.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，则f(f(3))=

.

3

)

【解析】由题意知f(3)=1，f(1)=2，故f(f(3))=f(1)=2. 答案：2

【互动探究】

1.若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？

提示：若已知函数的类型，常用待定系数法求解. 2.根据函数的图象，是否可以精确求出每一自变量对应的函数值？

提示：不能，只能近似求出函数值且有时误差较大.

【互动探究】

1.若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？

提示：若已知函数的类型，常用待定系数法求解.

2.根据函数的图象，是否可以精确求出每一自变量对应

的函数值？

提示：不能，只能近似求出函数值且有时误差较大.

3.根据表格能否得出定义域中每一自变量对应的函数值？

提示：不能，列表法仅能表示自变量取有限个值的对应关系.

【探究总结】

知识归纳

方法总结：求函数解析式的方法

(1)

待定系数法：函数类型已知时设出函数一般形式，然后利用条件求待定系数. (2)换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式. 注意事项：(1)换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围. (2)

用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.

【题型探究】

类型一：函数解析式的求法

【典例1】(2016·杭州高一检测)若二次函数f(x)=x2+bx +c满足f(2)=f(-2)，且方程f(x)=0的一个根为1.求函数

f(x)的解析式. 【解题指南】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一根为1建立

关于b，c的关系式求解.

【解析】由f(2)=f(-2)得：

22+2b+c=(-2)2-2b+c，即b=0.………………………①

由x2+bx+c=0的一个根为1，

则b+c+1=0.…………………………………………②

由①②得b=0，c=-1.所以f(x)=x2-1. 【延伸探究】

1.(变换条件)若将条件“f(2)=f(-2)”改为f(0)=2，求f(x)的解析式.

【解析】由f(0)=2，所以c=2. 又x2+bx+c=0的一个根为1，故b+c+1=0，

所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2. 2.(改变问法)本例条件不变，求f(x+1)的解析式. 【解析】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为1得：

22bc22bc,b0,

得c1.1bc0,2

所以f(x)=x2-1，故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.

【规律总结】待定系数法及换元法的适用条件及步骤

(1)待定系数法

适用条件：函数的类型已知. 一般步骤：

①设出解析式；

②依据条件列出方程(组)；

③解方程(组)写出解析式. 2

(2)换元法

适用类型：已知f(g(x))，求f(x)的解析式. 一般步骤：

①换元：令t=g(x)，并写出t的范围；

②求解：用t表示x；

③代入：将用t表示的x代入原式，写出解析式. 【巩固训练】(2016·成都高一检测)若函数

f(x)满足f(3x+2)=9x+8，则f(x)的解析式是

(

) A.f(x)=9x+8

B.f(x)=3x+2 C.f(x)=-3x-4 D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4

【解析】选B.设t=3x+2，所以x=

，所以函数式转

化为f(t)=3(t-2)+8=3t+2，所以函数式为f(x)=3x+2.

类型二：函数的图象及简单应用

(2016·

【典例2】广州高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0)满足f(3)=f(-1)=0，(1)求f(x)的解析式. (2)画出f(x)的图象. (3)写出其值域. 【解题指南】先由f(3)=f(-1)=0建立方程组求a，b，再利用描点法画f(x)的图象，由图得f(x)的值域.

9a3b30,

【解析】(1)由f(3)=f(-1)=0得：ab30，3ab1,a1,

即解得：ab3,b2，

所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+3.

(2)列表如下：

描点，连线得f(x)的图象如图所示：

x

-1

0

1

2

3

y

0

3

4

3

0

(3)由图可知：其值域为(-∞，4].

(3)

由图可知：其值域为(-∞，4].

【规律总结】

1.作函数图象的三个步骤